【极热篇｜第三章：复杂系统】02 湍流

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严老师讲义 

三体问题只是复杂科学中最简单的问题之一，现实生活中的复杂科学比比皆是，甚至可以说复杂系统比简单系统还要多。

3.2.1 流体力学

有一门古老的学科叫流体力学，它研究的是气体、液体在流动状态下的物理学规律。流体力学的应用非常广泛，比如航空航天，本质上就是在深刻钻研空气的流动，造船技术则是研究水的流动。空气、水在流动中的规律，在微观层面上都是由牛顿定律描述的，但不可能每个分子都用牛顿定律去描述。尽管它的运动从原理上来说我们一早就清楚，里面一些悬而未决的问题却已困扰科学家几百年了。

3.2.2 流体力学的研究方法

流体力学的标准研究方法，是用流速去描述流体中每个位置的运动情况。我们并不追踪每个流体分子的运动，而是把流体当做一个整体系统进行研究，关注流体会通过的区域内，每个具体位置的流体流速是什么样的。在流动过程中，虽然每个位置流过的流体分子一直在换，但这里我们不关心每个具体的分子，只关心分子的“流”，也就是区域内每个位置流体的流速。

我们在第一篇【极快篇】的第三章中提到过伯努利原理，即流速越快，压强越小，其中伯努利方程给出了流速与压强的关系。只要了解了每个位置的流体流速，就能够了解每个区域内的压强。也就是置身于流体中的物体的受力情况，可以根据流体的流速计算出来。

3.2.3 NS 方程

结合伯努利原理和牛顿定律，原则上，只要解出流体的速度分布的方程（Navier-Stokes 方程，简称NS方程），流体的行为就能彻底被理解。

Navier Stokes 方程

但到目前为止，NS 方程也没有被彻底解决，只有一些特殊情况下的NS方程是有解析解的。大部分情况下，甚至连数值解都没有。为什么呢？其实跟三体问题类似，因为这里面有一个粘滞阻力项，数学上体现为自变量的平方项，这在数学上叫非线性。但凡速度有点偏差，就会被这些非线性的项无限制的放大。也就是一个非常微小的扰动，会导致最终的结果南辕北辙。

NS方程是数学界的“七大千禧问题”之一。美国的克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute, 简称 CMI）在 2000 年列举了七个数学问题，并对每个问题悬赏一百万美元，称这七个问题是千年难题，NS方程的解就在其中。这就引出了流体力学当中一个至今都无法彻底解决的物理现象，叫做湍流。

3.2.4 什么是湍流？

湍流（turbulence）也叫乱流，湍流的现象很常见。比如坐飞机时导致颠簸的气流，就是湍流。国外航班的广播里直接说的就是turlubence。

什么是湍流呢？其实翻译为乱流更为贴切。湍流就是一种毫无规律的空气流动。由于毫无规律、变化剧烈，所以坐飞机时感受到的是颠簸。湍流，就是一种NS方程非线性的体现。

湍流的形态

历史上很多最一线的物理学家和数学家都尝试去解过湍流问题，可见其难度之高。比如海森堡的博士论文就企图做湍流的问题，他做了几年发现完全无法解出来，只给出了一些特殊情况，可见湍流问题有多难。

湍流中是有一些相对来说比较稳定的特殊情况的，比如空气和水会以转圈的形式开始运动，形成流体的涡旋。但是这都只是NS方程的特殊解，并非全貌。

3.2.5 雷诺数

湍流问题目前还无法精确求解，也就是无法解出湍流情况下，一块区域内每一个位置的流速按什么规律变化。

即便无法精确求解，也可以考虑其它情况。比如，可以解释湍流为什么会形成，以及在什么情况下会形成。

于是就有了一个概念，叫雷诺数。首先，一般的流体之间有粘滞阻力，也就是有相互作用的。如果描述流体的模型中没有粘滞阻力，就不会出现湍流。

在没有阻力的情况下，流体的行为是非常顺滑的。也就是说，一个区域内各个位置流体速度虽然不同，但不同流速流体之间的相互作用只体现在流体的压强上，而压强的方向垂直于流体流速方向，所以并不会影响流体的速度。但是一旦有粘滞阻力，流体的运动就会受到粘滞阻力的影响。所以NS方程的一般形式里都是有粘滞阻力的，这也更符合实际的流体情况。

结合一个生活经验，如果你坐过快船，可以观察一下，当船在刚开始启动速度还比较低的情况下，在水里划出的水波是比较规律的，但是船的速度起来之后，它的周围就会有比较大的浪花。这些浪花就是一种湍流行为。

雷诺数描述的就是这个现象，雷诺数就是流体被喷出时的动能比上流体受到的粘滞阻力。这个数字大到一定数值，就会出现湍流。这个过程从物理上可以这样理解：因为粘滞阻力跟速度成正比，能量跟速度的平方成正比。当速度很慢的时候，速度的平方没有速度的一次方大，所以粘滞阻力占主导，能够限制流体的运动。随着速度越来越快，速度的平方就会很大，整个流体会对扰动相当敏感，系统就会迅速进入混乱、不可预测状态。进入混乱状态以后，具体的行为就变得无法描述了。

雷诺数看似粗浅，对于流体系统来说却是一个重要的进步。要知道湍流的产生对于飞行器来说，是一个重大的阻力来源。如果有办法改变飞行器的形状以及飞行模式，让飞行器在尽量高的速度下才超越雷诺数的上限，这对于飞行器的提速将有重大帮助。

湍流的问题，只是一类复杂系统的问题。这样的问题还有很多，它们可以被归类为一个学科或者说一种类型的问题，叫做混沌系统。