【数学】大自然也爱偷懒，自我重复的分形几何

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精华笔记 

分形几何是20世纪最火的数学分支之一。

一、自相似性
1. 如果把雪花在放大镜下放大，会发现雪花是一个个一样的图形长在上一个图形上；

2. 我们可以利用自相似性逆向造雪花。比如先画一个六角形，在六个角的两条边上再画两个小的三角形，再在小的三角形上用同样的方式画两个小的三角形，以此类推。这样就可以得到一个具有自相似性的图形；

科赫雪花曲线

3. 自然界有很多自相似的现象存在。除了雪花以外，树枝的分叉满足自相似性，生物体中细胞的增殖也有这样的规律；

二、全新的几何领域
4. 分形几何是全新的几何领域。分形的图形虽然是连续的，但是不可导，所以这个领域的问题无法用传统的微积分解决；

5. 我们可以用线度变化的关系来定义维度。比如一个圆的半径变成2倍，面积会变成4倍，一个球的半径变成2倍，体积会变成8倍。本质上是因为圆和球分别是二维和三维的物体；

6. 但是一个自相似的分形图形，线度变成2倍的同时面积不是变成4倍，变多少根据具体图形而定，所以会出现小数维度；

三、芒德勃罗方程
7. 芒德勃罗方程的表达式为z=z^2+c，被称为最神奇的方程。其中c是一个参数，z是可以迭代的复数。先代入一个z，然后不断迭代，再把所有z的集合在复平面上表示出来，就可以得到一个神奇的分形几何图形，叫芒德勃罗集合；

芒德勃罗集合

8. 根据不同的迭代方程式可以得到非常多这样的图形，它们的维度也各不相同，而芒德勃罗方程是2维的；

9. 分形几何对于认识自然非常有帮助，因为自然发展的过程，在很大尺度下都是以相同的规律增长。