【极小篇｜第六章：标准模型】03 规范对称性与规范场

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严老师讲义 

阐明了守恒量和对称性的关系，接着讲如何理解这些基本粒子之间不同的作用力。它们交换的粒子之间的关系是什么样的？

6.3.1 什么是量子场？

不管这些基本粒子交换的是什么粒子、如何交换，我们先把基本粒子，也就是夸克、轻子当成一个整体来研究，它们都应该满足量子力学。

原子里的电子，它们的运动范围小，且数量不多，可以用薛定谔方程去研究一个电子的运动情况。但是在一般情况下，我们感兴趣的是广义上由多个粒子组成一个量子系统后的整体性质。

先不用交换粒子的物理过程去理解粒子之间的相互作用。可以先把粒子之间的相互作用抽象成一根根弹簧。可以想象，粒子和弹簧系统织成了一张大网。

量子场的物理图像

这张大网有弹性，上面还存在波动，有各种运动模式。但与一张普通的弹性网不同，这里所有的粒子都是量子化的，它们都要满足不确定性原理。所以这张网上代表一个粒子的并不是一个点，而是一团波函数。这团由波函数组成的巨大网格，就是量子场。

6.3.2 量子场的对称性

量子场这张大网里的弹簧是什么做的？它的性质是什么？我们现在对量子场还是一无所知，得到的一些归纳性的结论其实就是一系列守恒量。比如，量子化的电磁场必须保证电荷守恒，由诺特定理可以知道，这种守恒必然对应于某种对称性。

于是，这里的思路就变成：找出对应于守恒量的对称性，从对称性出发，了解量子场中弹簧的性质。

6.3.3 杨-密尔斯场

这就要说到著名的规范场论，也叫杨-密尔斯理论。该理论于 1954 年由杨振宁与罗伯特·密尔斯共同提出。它的基本思路相对比较复杂，需要一定的数学知识才能明白。

这一切还要从波函数说起。先前一直说量子系统的波函数，代表了粒子出现在不同状态的概率。波函数如果用数学表达式写出来，可以是一个复数。高中的时候我们学过一个概念叫虚数，i。它被定义为根号-1，即 i² = -1。复数就是一个实数加一个虚数，复杂的数的意思。实数代表可测量值，比如测量一个东西的大小、高低、快慢、质量、电量等等，这些物理量都是实数。而虚数是一种人造数字，它没有实际意义，自然中没有任何东西可以用虚数表示，我们做实验得到的结果必须是个实数。我们的实验测量在数学公式上的表达，对应的是对波函数这个复数做各种数学操作，并且要保证操作完之后得出的结果是个实数，否则这个结果没有物理意义。

我们说波函数代表概率的大小，这个说法其实没有完全说完。应该是波函数的模的大小，表示了概率的大小。我们定义一个波函数的模的大小，对应了粒子出现的概率。比方波函数是 a+bi，其中a和b是实数，i是虚数。这个波函数本身不能代表概率，而它的模根号下（a² + b²）是实数，这才是一个有意义的数字。

既然如此，只要最终算出来的 a² + b²不变，单个波函数其实有变化的自由度。不管波函数是 a+bi，还是a+bi 乘以一个模是1的复数，都不影响最后概率的大小。在保持最后测量结果不变的情况下，我们可以任意选取波函数的形式，因为最终测量的只能是波函数的模。保持模不变的情况下，可以选取无数种波函数的表达式来表达同一个状态。

这里就出现了对称性的特点。我们对波函数做的操作，就是在保证模不变的情况下，任意变换它的波函数。每次变换都不会改变对它的测量结果，这就是一个对称性，叫规范对称性。同一个物理状态，可以用无数个波函数去描述它，这里的每个波函数都是一个规范。但也不是所有波函数都可以，必须满足一定的条件。比如，对于电荷的波函数来说，条件就是波函数不管怎么变，模不能变。这就好比你给孩子取名字，你可以给他取无数名字，但是为了要让别人从名字里看出来它是个中国人，你总归要用汉字给他取名字。这里无数个名字，就是你孩子的无数个规范。必须用汉字，就是给一个中国孩子起名字的规范对称性。

与前面我们说的对称性（比如：空间平移对称性、时间平移对称性）不同，规范对称性不是一种时空对称性，它是微观粒子内部的内在对称性。一个量子场必须满足整体的规范对称性，也就是整个量子场的波函数的不同时空位置，如果同时发生一个规范的变换，不会影响系统的任何性质。因为最终取的是波函数的模。就好比全中国人都改名，大家全都在原来的名字面前加个王字，不会影响大家分清楚谁是谁。

但这明显是不够的，因为量子场的相互作用是局域化的。两个粒子在 A 地发生相互作用，肯定不会马上影响到几光年以外的粒子的行为。所以规范对称性不应该是整体、全局的对称性，而应该是局域化的。也就是在量子场中，每一个电荷的波函数都应该能自由选取一个规范。一个地方换了规范，并不会影响全局。就好比你给自己的孩子取名字，不用管隔壁邻居给他的孩子取什么名，这叫局域规范对称性。一旦要求量子场的波函数必须满足局域规范对称性，神奇的事情就发生了。

如果要满足局域规范对称性，就必须有一个额外的量子场存在，这个场就是规范场。如果只研究电荷，我们会发现为了满足规范对称性必须存在电磁场。也就是说，电磁场在量子力学的框架内，无非就是电荷波函数的规范场而已。电磁场的存在，是被规范对称性牢牢约束死的。

原本我们对电磁场的理解是归纳性的，我们用实验发现存在电磁场。但是有了规范场，我们就把归纳法的源头推到了局域规范对称性。局域规范对称性是归纳的第一性原理，为了满足局域规范对称性必须存在一个规范场，这个规范场在物理性质上就是电磁场。也就是说，电磁场成为了局域规范对称性演绎的必然导出。

那如何理解电磁相互作用力呢？其实就是这个规范场的扰动而已。什么是扰动？就是让规范场的能量往上提升一个单位，激发规范场的能量单位提升一个单元，就出现了一个新的规范玻色子。

规范场就像一盆肥皂水，你搅扰它一下就会产生泡沫。这些泡沫叫做规范玻色子，它们就是基本粒子之间相互交换的粒子。到这里其实就可以回答这些基本粒子是如何相互作用的了。

这里要换成对称性的语言。色荷、味荷、电荷，这三种荷的本质并非因为测量得出它们是三种不同的荷，只不过它们的波函数对应于三种不同的局域规范对称性。这就要求存在三种不同的规范场。就像一盆肥皂水，这三种荷的作用就是在肥皂水里搅扰起三种不同的肥皂泡。这些荷之间交换肥皂泡导致的效果，体现为它们之间的作用力。

这三种对称性是用数学中的群论来描述的。它们都有不同的名字，电磁场就是U(1)规范场，弱力场是SU(2)规范场，强力场是SU(3)规范场。这三种对称性的数学性质完全不同，其中SU(2)、SU(3)是普遍意义上的杨-密尔斯场。

这三种规范场的肥皂泡，到底是什么呢？U(1)规范场被激发起来的肥皂泡就是光子。SU(2)被激发起来三种粒子，分别是W+ 、W-和 Z0玻色子，其中 W+带正电、W-带负电，Z0不带电。SU(3)被激发起来的是胶子，胶子本身携带色荷，传递强相互作用力。这些用来交换传递的粒子，都是玻色子。

根据诺特定理，这几种规范对称性对应的守恒量都可以计算出来。算出来的结果自然而然就有各种各样的守恒量。例如U(1)规范场用来描述电磁相互作用，它的规范对称性给出了电荷守恒。其它规范场的守恒量相对复杂，但是都很好的解释了为什么会有那么多守恒量。

应该如何理解杨-密尔斯场的思想呢？我们用实验测量出电荷、色荷、味荷的存在，本质上是对其存在的一种归纳性理解。但是规范场论告诉我们：电荷之所以表现得像电荷，色荷之所以表现得像色荷，是因为它们以波函数存在的具体形式，满足了不同的规范对称性。

规范场论把我们对于各种荷的理解，又往深推进了一层，这几种荷以及它们的相互作用其实是可以用演绎法推出来的。

至此，我们了解了如何用规范场（也就是杨-密尔斯场理论）理解这些基本粒子之间的相互作用，以及它们是如何被统合到同一个理论框架内的。杨-密尔斯理论并非万能，它在解决实际问题的过程中有无法解释的问题，这就引出了上帝粒子的理论。在后面我们将继续讨论如何统合几种基本作用力的问题。直到上帝粒子，也就是希格斯理论以及标准模型的提出，粒子物理才真正在一定程度上达到了统合。