【极小篇｜第二章：量子力学（上）：薛定谔诠释】04 隧道效应

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严老师讲义 

量子力学对于微观世界的描述，是一种充满了不确定性的描述，我们无法精确预测电子处在原子中的位置，只能预测电子出现位置的概率，这与描述宏观世界的方法截然不同。

微观世界和宏观世界之间，存在巨大的鸿沟。宏观世界是由微观世界构筑起来的，微观世界积累的量变，来到宏观世界后，发生了质变。这种转变看似唐突，其过渡具体如何发生，我们将在后面的章节中，通过美国物理学家费曼的“路径积分”理论进行解释。

这一节，我们来看看与宏观世界如此不同的微观世界，在概率波的描述下，会出现什么特别的现象。

2.3.1 一切皆概率

宏观世界任何一个物体的运动，都是以在某时某刻某地出现，并以多大的速度向什么方向运动，来进行确定性的描述。如果一定要用概率来描绘宏观世界，其概率只有两种，就是 100%和 0%，对应的语言描述是“必然”和“绝无可能”。

但在微观世界，这个描述变成了“有可能”，薛定谔方程还能计算出这个“有可能”，具体是百分之多少。微观世界在量子力学的描述下，变成了一个“一切皆有可能”的世界，在这个世界会发生一些宏观世界绝无可能发生的事情，“隧道效应”便是其中的典型代表。

2.3.2 隧道效应，化不可能为可能

举一个宏观世界中的例子，你现在要跳过一堵2米高的墙，假设你的跳跃能力最多跳1.9 米高，也就是跳起来的那一刹那，你双腿用力，让自己获得向上运动的速度并具备一定的动能，然而这个动能的大小最多能把你送到1.9米的高度。当你的动能全部转化为重力势能后，你所在高度的重力势能，无法超越2米的高度对应的重力势能，因此你无法跳过这堵墙。

但微观世界并非如此，薛定谔方程告诉我们，从数学角度来看，能量发生变化，波函数也会发生变化。它是一个连续的方程，如果能量变化是连续的从一个值慢慢变到另一个值，那么波函数也应该是从一个形状顺滑的变到另外一个形状。

假设现在在微观世界，让一个微观粒子跃过一道有限高度的墙。若粒子的动能高于这堵墙的势能，毫无疑问这个粒子肯定可以跃过去，这时粒子的能量等于动能减去墙高度的重力势能。现在让粒子的动能逐渐减小，也就是粒子的能量从大于0逐渐变到小于 0，其是否能跃过去的概率也应该是顺滑的慢慢减小。

但如果真的去解薛定谔方程就会发现，即便能量变成小于 0，也就是动能小于势能，从宏观情况看是肯定越不过去了，解出来的波函数，跃过墙的概率虽大大减小，但不为零。也就是微观量子世界的语言是波函数的语言，波函数是顺滑的，不是要么100%要么0，所以即便是从宏观情况看越不过去的粒子，仍有一定概率可以跃过一道势能比自己动能要高的墙。

隧道效应

这就是隧道效应，一个微观粒子即便它的动能很小，但面对一堵比自己动能还高的墙，也不是完全没有可能跃过，只是这个可能变得很小而已。可能性小，不代表不会发生，就好像它从墙上打了一个隧道，有一定概率可以钻出去，这就是隧道效应。

2.3.3 摩尔定律的极限

隧道效应，是量子力学特殊性的集中展现。它告诉我们量子世界的规律，与宏观世界的经验完全不符。因为有隧道效应，现实生活中的技术进步受到了很大的挑战。

相信你应该听过摩尔定律。

摩尔定律说的是，计算机的计算能力每 18个月就会翻一番。计算机的计算处理靠CPU上的计算单元完成，单位面积的芯片上计算单元越多，计算机的处理速度就越快。计算单元由晶体管组成，即在硅板上进行光刻，计算单元做得越小，在单位面积上就可以安放越多的计算单元，计算速度越快。

18个月就能翻一番的计算能力，是指每过18个月，计算单元的大小就能小一倍，单位面积能放多一倍的晶体管，计算速度就能快一倍。

但摩尔定律有其局限性，因为计算单元不能做的无限小。电子计算机依靠0和1两个信号表示信息，具体是0是1非常重要，差一个数字就面目全非，因此计算机处理的0和1信号要非常精确。

如果计算单元太小，信息的准确性会受到威胁。0和1两个信号，非此即彼，具体是 0 是 1，由计算单元两端的电压决定。计算机中的电流，完全按照电学规律运动。如果计算单元做得过小，量子力学的效果便开始显现，仅靠电学规律不再能够预测电子的运动。

量子力学现象的效果开始显现，就意味着会发生隧道效应。本来应该是 1 的信号，有可能会变成 0，这样信息就发生了错误，会影响计算的进行。目前最小的计算单元，大概在 7 纳米左右，已经到极限了，再往下会非常困难。7 纳米相当于几个硅原子的直径大小，这时发生隧道效应就变得非常容易。这就是为什么说，摩尔定律在量子力学面前面临失效。

至此，我们用量子力学的概率波表述以及薛定谔方程充分地描述了量子力学系统的运动规律。原则上，只要不纠结于电子的具体轨道是什么样的，原子中电子的运动规律就能被彻底解释清楚。但这样的解决方案并不能让人完全满意，我们还是希望能解出电子的具体运动轨道，也就是它的轨迹随着时间具体如何变化，是否能用确定性的语言进行描述。如果不能，是否能证明这种不可能呢？