【极小篇｜第二章：量子力学（上）：薛定谔诠释】02 波函数

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严老师讲义 

上一章详细介绍了玻尔模型，玻尔模型描述原子里电子围绕原子核运动的轨道依然是一个圆周运动，只是加上了角动量量子化的条件。结合德布罗意物质波的理论，电子可以被看作一束围绕着原子核运动的首尾相连的波。既然是一束波，就要满足周期性边界条件，于是就能得出玻尔模型角动量量子化的条件，否则波无法形成。

这个理论看似美妙，不管把电子看成波还是粒子，它的运动状态应当是一个环。但当人们真的去测量电子位置的时候，会发现电子几乎可以出现在原子核周围的任何位置，做 100 次实验，能获得 100 个不同位置。这些位置组合起来，完全不像是一个环，甚至可以说是杂乱无章。

2.2.1 原子里的电子根本没有轨道

这说明电子在原子核周围的运动，压根没有轨道可言。从实验的角度来说，玻尔模型从根本上就是个错误的理论，它描述的图景和电子运动的实际情况完全不符，只是碰巧在单电子的情况下，解释了氢原子光谱。

可以想象，真正描述电子运动的应该是一个更加高级的理论，只不过这个理论在单个电子的情况下，给出的氢原子光谱跟玻尔模型是一致的。

如果电子根本没有轨道，运动也毫无规律，为什么会有电子的能量量子化这一说呢？运动既然毫无规律，能量变化又怎么有精确规律呢?

因此，科学家们开始思考，也许想要让电子的运动轨迹有规律的想法，就是一种妄念，应该用另外一种语言来描述电子的运动。

2.2.2 概率的语言

这种新的语言，就是概率的语言。前面提到，如果去测量电子在原子中的位置，测量 100 次可能位置都不同，电子在原子核周围任何位置都可能会出现。

但如果再多测几次，比方测个一万次，其实是可以看出一些规律的。这个规律是统计上的规律，如果我们真的把一万次位置的图像拼在一起，就能看到一张全部都是点的图，这些点形成了“电子云”。

通过电子云的形状能看出一些规律，不同能量等级下的电子，对应的电子云会形成特定的形状，有球形的、哑铃形的，不同的形状对应的电子能量不同。不同形状的电子云，对应的是电子出现位置的不同概率。比如，通过一个球形的电子云，我们可以发现在离原子核近的地方找到电子的概率，总比离原子核远的地方找到电子的概率大。

虽然我们无法精确的预言每个时刻电子会出现在什么位置，在测量多次电子的位置后，可以预测在什么位置出现的概率大约是多少。这就是概率的语言，也是在微观世界描述物体运动状态的标准语言。

在宏观世界，可以确定的描述物体的运动状态。比如，有个逃犯开车逃逸，警察抓逃犯的过程中要不断地汇报逃犯的位置。例如，逃犯在 15:10，处在上海市愚园路和常德路的交界口，以 80km/h 的速度向东逃窜。在 15:10 这个时刻，逃犯的运动状态被确定了。有了这个信息，下一秒逃犯的位置可以被精确预测。

一旦有了运动的物体每个时刻的位置和速度信息，就能精确知道目标对象的运动轨迹，但电子的运动就完全不是如此了。

如果用概率的语言来描述电子的运动状态，只能通过这样的语言描述，这个电子在 15:10，处在原子核正下方 1 纳米处，并以 10000m/s 的速度向上运动的概率是多少。

我们只有一定的把握知道这个电子在什么地方，以多大的速度运动，但是我们无法精确预言它会出现在哪里，这就是概率的语言。至于为什么只能用概率的语言来描述微观世界的运动规律，我们将在后面的课程中讨论。

2.2.3 概率波的描述

随着时间的变化，概率的分布也会变化，于是我们就借用了波动的物理学语言去描述电子运动的概率。

这里不再将电子的运动规律称作电子云，而叫它概率波。简单做张图，就能明白为什么要叫它概率波了。以电子离原子核的距离为横坐标，以电子在各个位置出现的概率为纵坐标，画一张图，你会发现这张图看上去像一个波的波包。

并且随着时间的变化，这张图是会变的。这样一来，概率的分布就会随着时间的变化而变化，和我们看到的一般的波动情况很像，比如电磁波的波动，水波的波动皆是如此。

不同能量等级的波函数

概率波有一个特点，它是所有电子出现的概率的总和，也就是概率波图像的总面积必须等于 1。因为如果你在全空间范围内去找这个电子，你一定会找到它。

既然只能用概率波来描述电子的运动，那下一个问题就是，电子运动的概率变化规律是什么样的？

随着时间的推演，电子运动的概率本身会不会出现变化？比如在第一秒，它处在某个位置的概率是多少，一秒后，它在这个位置出现的概率是否还跟原来一样？是什么因素决定了概率的分布随时间变化的规律？

这就是薛定谔方程要回答的问题，薛定谔方程告诉我们，一旦给定了能量，那么概率波随时间的变化规律，就确定下来了。