【极重篇 | 第一章：广义相对论的基本原理】04 尺缩与钟慢

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严老师讲义 

我们从等效原理出发，证明了引力不是一个力，只是时空的扭曲，这种扭曲是由质量造成的。置身于其中的物体感受到了时空的扭曲，于是运动状态发生了变化。这种运动的变化只是被牛顿解释为引力，但其实引力并不存在。

既然知道了时空可以扭曲，那么扭曲的时空会带来哪些神奇的效果呢？很显然，狭义相对论里那些神奇的效果，比如尺缩效应和钟慢效应，在广义相对论中也是存在的。

尺缩效应可以理解为空间的压缩，钟慢效应也可以理解为时间的收缩。广义相对论既然说的是时空如何被扭曲，那对应的钟慢和尺缩效应也一定存在。只不过这次，我们可以从时空的扭曲出发，来推论这些效果。

4.1 黎曼几何：曲面上的几何

首先要来探讨一个基本的问题：空间中两个点的距离是怎么算的？

我们都知道，两点之间，直线最短。比如有一张平铺的纸，你在上面随意画两个点，然后用一根线段把它们连起来。那么这条直线的长度就代表了这两个点，在纸面上的最短距离。

但是别忘了，这两个点的最短距离是一条线段，只在纸面是平面的情况下成立。如果是曲面，可就不是这样了。

比如在地球表面上任意取两点，在不穿透地表的情况下，两点之间最短的距离就是它们中间的那段圆弧，是一条曲线。

也就是说，在不同的空间当中，两个点之间的距离也是不一样的。既然广义相对论说的是时空的扭曲，那么两点距离的计算方式，就跟这个空间具体的扭曲形式有关了。研究曲面上几何关系的学科，叫做黎曼几何。

在黎曼几何里，很多被欧几里得几何当成公理的东西是不成立的。比如说在欧几里得几何里，两条平行线是永不相交的，但这在黎曼几何里是不成立的。

我们知道地球的经线和纬线都是相互垂直的。换句话说，任意两条经线是相互平行的。但是很明显任意两条经线都会相交于南北两个极点。因此，黎曼几何完全是一套截然不同的几何学系统。

4.2 尺缩效应

有了对于黎曼几何的认知，很容易就能理解在广义相对论下的尺缩效应和钟慢效应。

首先，要定义一个物理量，叫做时空曲率，它描述的是时空的扭曲程度，正比于加速度。用牛顿万有引力的观点看，就是引力越大的地方，曲率越大，时空扭曲的程度就越剧烈。

我们说空间的扭曲是被压缩，而不是被拉伸，是因为引力永远表现为吸引作用，而不是排斥作用。也就是有质量的物体倾向于靠近，而不是远离，只有压缩才会让距离靠近。

质量越大的天体，对它周围空间的扭曲就越剧烈，它周围时空的曲率就越大。还是用一块海绵的弹性扭曲来看，质量越大，就好像压缩、扭曲海绵的力越大。

那尺缩效应是什么呢？其实真的就是把空间当成一块海绵，把它压缩成一个曲面。一把弹性尺上面有刻度，我们把它弯曲，当然是向里弯的部分，被挤压了，尽管上面的刻度没有变，但是实际上，刻度之间的距离变小了，对应的，这就是尺缩，是空间的尺度变小了。

4.3 钟慢效应

对应的，可以相同的去理解广义相对论下的钟慢效应。在极大篇中我们说过，时间和空间其实是等价的，不需要把时间和空间区别对待。

我们可以把时空当成一块海绵，只不过在它的长、宽、高三个维度中，高代表时间，长和宽代表空间。

这种比喻只是为了方便理解，真实的情况应该是三维空间加上一维时间的一个四维的海绵。只是人的感官无法想象四维，就简化为二维空间加上一维时间。

这样一块海绵在质量的作用下被压缩的时候，不光空间维度被压缩了，时间维度也被压缩了。本来一个事件持续的时间可能是两秒钟，被压缩之后就只有一秒钟了。

电影《星际穿越》里有一段剧情，男主和女主去一颗黑洞周围的行星上探测。他们只去了三个小时，但是在飞船上的同事却等了他们二十多年。

这就是广义相对论里的钟慢效应。因为黑洞边上的引力场极强，所以行星上的时间被压缩的非常厉害。

这里还是要强调一下，当你进入到一个强引力场范围内，只是别人看你的时间变慢了，别人掐表两秒钟，在你这里才过了一秒钟，但你不会感到自己的时间变慢。

黑洞周围的时空扭曲

4.4 双生子悖论的最终解释

有了广义相对论对于尺缩和钟慢的理解，我们可以再回过来讨论一下双生子悖论的问题。

假如有一对双胞胎兄弟，哥哥坐着一艘宇宙飞船以接近光速的速度，去太空里转了一圈，又回到地球上，而弟弟一直在地球上。问飞船回来以后，兄弟俩谁的年纪更大一些？

根据钟慢效应，由于哥哥的运动速度非常快，所以在弟弟看来，哥哥的时间流逝速度很慢。这样等哥哥回来后，弟弟经历的时间更长，所以哥哥反而比弟弟年轻。这样一个推论看似没什么问题，但是其中隐含着严重的逻辑矛盾。

虽然是哥哥坐着宇宙飞船去宇宙里转了一圈，但是在哥哥看来，何尝不是弟弟在地球上，地球相对于哥哥坐的宇宙飞船，也以接近光速的速度转了一圈。

因为运动完全是相对的，无论是哥哥还是弟弟，都会觉得自己是不动的，是对方在运动。所以对于哥哥来说，应该是弟弟的时间流逝速度更慢。当自己回地球以后，哥哥应该更加年老。

这个问题需要借助广义相对论才能回答。因为是哥哥坐着宇宙飞船出去转了一圈，那么很显然，哥哥经历了有加速度的过程。他要先加速飞出去，然后回地球的时候还要减速，减速的过程可以看成是反向的加速。

根据等效原理，哥哥经历了置身于强大引力场的过程，所以他的时间受到了压缩。回来之后，应该是哥哥更加年轻了。