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严老师讲义
这一节我们继续介绍相对论带来的另外两个神奇效果。
第一个叫做尺缩效应,顾名思义,就是一把相对着地面在运动着的尺子,长度会在尺子运动的方向上缩短。这里的缩短,要再强调一下,是地面上的观察者测量到的尺子长度会变短。但是如果尺子上有另一个观察者的话,它测量到的尺子长度还是原来的长度,因为相对于尺子上的观察者来说,尺子并没有运动。
而且相对于地面上的观察者来说,尺子只是在它运动的方向上缩短了,垂直于运动方向的长度不会改变。如果一个正方形在沿着它的一条边的方向运动,它就会变成一个长方形。如果正方形是沿着它的一条对角线运动的话,它就会变成一个菱形。接下来让我们看看这个神奇的效果是怎么做到的。
1. 如何定义尺子的长度
仍然用一个思维实验来解决这个问题。既然是要测量尺子的长度,那就要先定义一下,尺子的长度在不同的参考系种是怎么量出来的。
1.1 地面上怎么测量尺子长度?
假设这个时候爱因斯坦站在地面上不动,他可以这样测量尺子的长度:当尺子的头部经过爱因斯坦的时候,他记录下一个时间,与此同时,在尺子的头部做一个记号;当尺子的尾部经过他的时候,他也记录下一个时间,并在尺子的尾部也做一个记号。这样的话对于爱因斯坦来说,他量出来的尺子的长度,其实就是他记录下来的两个时间差,乘以尺子的运动速度。
1.2 尺子上怎么测量尺子长度?
再来看看站在尺子上的普朗克,他要如何去测量尺子的长度?刚才说了,地面上的爱因斯坦在尺子的头部和尾部都做了记号,那么对于尺子上的普朗克来说,他只要也记录下爱因斯坦做这两个记号的时间差,再乘以爱因斯坦相对于他的速度,其实也就是这根尺子的速度,就可以了。最后再去比较这两个时间差之间的关系,就可以得出尺子的长短到底变化了多少。
2. 尺缩效应的推导
2.1 回顾钟慢效应
根据上一节我们讲钟慢效应的过程,直觉上能感觉到,这个时间差在普朗克和爱因斯坦看来,肯定是不一样的。类比上一节课钟慢效应的结论,对于爱因斯坦来说,他给尺子的头部和尾部做记号这两个事件,是在同一个地方发生的,因为他自己的位置没有变。但是对于尺子上的普朗克来说,爱因斯坦在头部和尾部做记号这两件事,不是在同一个地方发生的。
这是不是很像上一节做的钟慢效应的思维实验?在钟慢效应里,光从地板上射出再回到探测器这两件事,对于爱因斯坦来说是在同一个地方发生的。但是由于火车在移动,对于普朗克来说,这两件事不是在一个地方发生的。所以前后发生的两件事,如果对于一个观察者来说是在同一个地方发生的,他测量出来的时间,一定比另一个看这两件事不在同一个地方发生的观察者,测量出来的时间要短。
同理,对于刚才测量尺子长度的实验,地面上的爱因斯坦所用的时间,肯定也没有尺子上的普朗克用的时间长。因为给尺子头部和尾部做记号这两件事,对于爱因斯坦来说是在一个地方发生的,而对于普朗克来说不是。
2.2 长度就是用速度乘以时间
有了爱因斯坦做记号的时间差比普朗克看到记号的时间差要短这个结论,我们就知道:爱因斯坦测量到的尺子的长度,一定比普朗克测量出来的更短。
因为爱因斯坦的时间差更短,而尺子的长度被定义为尺子运动的速度乘以两个记号的时间差。这就是尺缩效应,对于一个观察者来说,任何一个运动的物体,在它运动方向上的长度会缩短。
2.3 尺缩效应解释宇宙射线
上一节我们讲到,地球上能够接受到很多寿命很短的粒子形成的宇宙射线。根据钟慢效应,因为粒子运动速度快,所以对于地球上的观察者来说,粒子的寿命变短,足够支撑它们穿越大气层来到地球表面。我们现在变换到粒子的参考系,看看这件事情该怎么解释?
假设你现在是宇宙射线中一个寿命很短的粒子,你在自己的参考系里,看自己的寿命还是很短,但是你又能穿越大气层到达地球表面,恰恰是因为尺缩效应。由于地球相对于你的速度很快,大气层到地球表面的这段距离,对于你来说大大缩短了,你在衰变之前还是可以到达地球表面。
3. 相对速度的变化
3.1 伽利略变换中的速度叠加
狭义相对论的第二个神奇效果,就是我们在第一节提到的相对速度的例子。再来回顾一下,爱因斯坦在机场传送带上走路,传送带速度是10m/s,爱因斯坦相对于传送带的速度是1m/s;普朗克站在传送带外的地面上,问普朗克看爱因斯坦的速度是多少?伽利略变换给出的答案很简单,就是两个速度相加,10+1=11,单位是m/s。但是我们现在已经学习了钟慢效应和尺缩效应了,这个答案就不那么显而易见了。
3.2 相对速度会变小
如果爱因斯坦在传送带上走了1秒钟的时间,他就走了1米的距离。然而由于尺缩效应和钟慢效应,这个1米在普朗克看来是不到1米的,这1秒钟在普朗克看来也不止1秒钟。速度等于距离除以时间,现在分子比1米小,分母比1秒大,所以可以很快得出结论:普朗克看爱因斯坦相对于传送带的速度肯定不到1m/s,普朗克看爱因斯坦的总速度肯定也不到11m/s。
3.3 光速真的不变
还有更神奇的,回顾一下爱因斯坦打开手电筒的思维实验。手电筒的光相对于爱因斯坦是速度光速,如果按照伽利略变换,普朗克会发现他测量到的光速要比爱因斯坦测量到的光速大。但是如果按照相对论的速度叠加的方法去计算的话,会发现普朗克测量到的光速,和传送带上爱因斯坦测量到的光速是完全一样的,这就刚好符合光速不变的基本假设,狭义相对论也就完美的自圆其说了。
如果想象普朗克在天空中踏空而行,每次移动他一个脚的距离。假设他以接近光速的速度运动,那么在地上不动的爱因斯坦去看普朗克的脚就变短了,同时普朗克的时间变慢了,也就是单位时间间隔变长了。在更长的时间里普朗克移动了更短的距离,那就是速度变慢了。那么就比咱们定的速度小了,相对论效应就变小了,速度减小的就又没有那么多了,速度又变快了。以此往复,世界上应该不存在匀速直线运动,狭义相对论便失效,但是当狭义相对论失效时,便又改变一切,存在匀速直线运动,狭义相对论再有效,这不就套住了吗?
严伯钧 回复 @菜色的拉拉受_王母_: 脚的长度不会变短哦,脚在踩地的一瞬间相对于爱因斯坦是静止的。不过这个问题很有意思,你可以再完善一下逻辑,我们继续讨论。
把尺子换成火车,车上一个表车下一个表,车头经过 A 点后同时计时,车尾经过 A 点后同时结束计时。由于火车在运动,所以火车上的表走的肯定比车下的表慢。比如说车下计时 10 秒,车上计时 9 秒,假设速度的 10 米每秒,那车下算出来的火车长 100 米,车上算出来的火车长 90 米。火车速度越快,车上的表走的就越慢,车上算出来的火车长就越短。
几点丶 回复 @几点丶: 这我能理解,可是我觉得这种推理很奇葩,怎么能因为速度的原因就把空间距离给改变了?这有点像一只在跑步机上跑步的乌龟,乌龟的速度是固定的,怎么能因为跑步机向后的速度的变化去定义跑步机起点到终点的距离呢?
尺缩效应也可以用这种思维实验推导,我已经试过了,但是理解起来可能有点麻烦,用洛伦兹变换的话会快一点
奥姆剃刀原理、科学证伪说、佯谬、思维实验!
尺缩和钟慢本来就是光速不变推导出来的。当然可以用尺缩钟慢推导出光速不变。这怎么能叫自圆其说?逻辑不对啊。
老师,普朗克测得的时间长,是不是爱因思坦在尺子尾部刻记号那一刻,这个动个你光信号传到尺子头部普朗克眼里还需要一段时间,尺子越快普朗克测得的时间越长,如果尺子达到光速,普朗克测得时间就无限长,也就是时间停止了对吗
听友192401276 回复 @听友192401276: 这个动作的光信号传到尺子头部
能不能用钟慢效应,解决尺子高速运动的问题
在测量尺子长度时,普朗克的钟不会慢一点吗?
不看字,还以为你叫,演播君。
老师我想知道什么算是在一个地方什么是不在一个地方啊,为什么一开始在火车上的爱因斯坦是“在一个地方”,而后面在尺子上的普朗克他又变成“不在一个地方了”,他们都是自己在移动啊,
严伯钧 回复 @莫比斯要去清华: 在某个参考系下两个事件在不在同一个地方发生,是判断发生的这段时间是不是这个坐标系的本征时间的标准。你可以理解为在这个参考系的某个地方挂一个钟,这个钟相对于参考系本身是不动的,所以它就代表了这个参考系的时间。在时间膨胀的例子中,光在火车上反弹后又回到原位,所以这段时间间隔就是火车参考系的本征时间,外界会觉得这段时间膨胀了,因为地面参考系不认为光回弹到了同一个地点,而是向前移动了一个距离,所以就不是地面参考系的本征时间。而在尺缩效应的例子里,做标记的两个动作在爱因斯坦参考系看来是发生在同一个地方,所以是爱因斯坦的本征时间,对于普朗克来说不发生在同一个地方,一个发生在尺子头部,一个发生在尾部。