科普 |《数学（下）》：离开高数考试，数学竟然如此优雅！

当数学不再是试卷上复杂的证明题，原来还能这么有趣！

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听书笔记  

《数学》（Mathematics: A Very Short Introduction）的作者是英国数学家蒂莫西•高尔斯，英国剑桥大学的教授。同时他还是数学领域的诺贝尔奖——菲尔兹奖的获得者。高尔斯试图在这本书中回答一个问题：数学是什么？

一、三大数学要素：模型、抽象和证明。

数学的第一大要素：模型。

模型的全称叫数学模型。什么是数学模型呢？数学模型常常是现实世界的一个简化，是抽取对象的本质特性构造出来的。想要一个大炮获得最大射程，可以利用中学学过的牛顿运动定理，将大炮的射程用关于仰角的公式表示。当仰角调到45°，就可以使炮弹射得最远。这里假设没有风的影响，地面是平坦的，炮弹离开炮筒时的速度不变。如果考虑空气摩擦阻力的影响，也可以建立一个复杂的微分方程。不过，在实践的时候，需要测量沿线的风力，还要微调炮弹的角度，与简单的公式相比，可能结果只是远了区区10米。

尽管数学是一门精准的科学，但是我们建立数学模型却要从实际出发，要针对问题做必要简化，简化的标准有两个：够用、易解。 

数学的第二大要素：抽象。

数学家柯朗有一句名言：“上帝创造了自然数，其余的是人的工作。”

第一项“人的工作”是造了数字0。0从诞生之际就是一个抽象物：0是加法的单位元，就是任何数加上0还是它本身。将0引入自然数的时候，曾经遭到过很多阻力。“既然0表示什么也没有，为什么还需要它？”很多人这样问。不过，时至今日，0在数学运算中的巨大作用，已经使得人们无法离开他了。

第二项“人的工作”是创造了负数和减法。这个创造是用方程来完成的。7加几等于5？为了使这个问题有解，人们造出了负数，规定7+（-2）=5。有了负数就可以定义减法了，自然数a减去b,就等于a加上负b。

成功通过方程创造负数之后，“人的工作”便一发不可收拾了。人们定义了分数，比如1/2。还定义了根式运算，比如√2。定义了虚数单位 i，从而造出了复数，比如1+2i。在这些创造数字的过程中，数学家在每一步都将加法和乘法推广到新的集合。

等到造出了复数之后，数学家高斯证明了，人们利用方程造数走到了尽头。继续造数的“人的工作”只能依靠极限或者级数了，于是造出了圆周率π，自然常数e，这类数称为超越数，甚至造出了称为无穷大的怪物，它已经不能算数了。

在造数的同时，人们造出了减法、除法、指数运算和它的逆运算对数运算。在造出运算的同时，人们还研究了它们的性质。这种发展和应用都是抽象带来的成果。

数学的第三大要素：证明，用来保证结论的正确性。

数学证明有个最突出的性质：“任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的。”就是说一个证明对不对一定是可以判断的。其他科学就没有这个特性。例如，我们普遍认为地球绕着太阳公转是因为太阳的引力，对不对呢？最近有科学家说，单单靠引力是不可能的，因为引力太小，不足以维持地球公转需要的向心力，有人提出宇宙中有“暗物质”，它是主要原因。但是这又对不对呢？至少目前无法判断。

二、四大数学专题： 无限、维度、几何、估计与近似。

第一个专题：无限。

中学老师说：“无理数是无限不循环小数。”这个定义使得学生第一次在数学世界中邂逅无限。√2就是一个无理数，写成小数就是1.4142135…。但是老师讲过无理数的加法吗？比如两个无理数√2和√3，怎么加？

回忆一下有限小数的加法。1.11+ 2.22，这很容易。对于两个无限不循环小数相加，例如√2+√3，写成小数就是1.4142135…加上1.7320508…，怎么加？首先肯定这两个无限小数的和是唯一存在的；其次只要你给出一个精度，譬如说精确到小数点后100位，那么我可以给你一个小数点后100位绝对准确的和。这里的关键是，对于任意指定的精度，都有办法找到一个达到这个精度的有理数作为近似，这种技术称为有限逼近。如果你不给精度，那么我就造一个无限长的序列：3.1，3.16，3.164，3.1646，3.16462，…这个序列存在极限，这个极限就是√2+√3的小数表示。

高尔斯说，数学对象的意义在于它能做什么，而不是它是什么。你给出精度要求，我就给一个达到精度的答案，你不给精度，我就回答一个序列。这样，数学就尽到职了。

第二个专题：维度。

数学世界里的多维空间是怎样的呢？就拿四维空间来说，把4个有序排列的实数，用个括号括起来，就称为一个4维向量，这4个实数依次称为第一分量、第二分量，等等。4维向量全体组成4维空间。类似地，每加一个分量就将空间的维数增加了1，可以定义5维空间，6维空间，甚至一般的n维空间。

在上面的方法中，分量只能一个一个地增加，因此维数只能一维一维地增加。有没有办法增加一个小数的维数呢？换一个角度来看维度。在二维平面上，一个边长是1的正方形，放大三倍，得到9个这样的正方形；在三维空间里，一个边长是1的立方体，放大3倍，得到27个这样的立方体，可以得出一个规律，在n维空间里，把一个东西放大3倍，得到3的n次方个它本身。

根据这个性质，数学家造出了将近1.265维的空间。将长度是3的线段分成3段，每段长度是1，然后在中间一段上作一个等边三角形，再将底边擦去。这是一段中间隆起的折线，总长度是4。这种隆起折线就是新空间中的基本单元。作一个等边三角形，把每条边分成3等份，重复之前的动作，这样就造出来一个“科赫雪花”，把科赫雪花里的一个基本单元放大3倍，得到4个它本身，也就是说，3的n次方等于4，n近似于1.2651。

这种小数维的空间也被称为分数维空间，在分数维空间上，数学家发展了一种叫做分型的理论，这种理论在计算机图像识别技术中有重要的应用。

第三个专题：几何。

欧几里德的《几何原本》一开始叙述了5条公理。第一条，任意两点之间存在并且只存在一条直线将两点相连；第二条，任意一条直线段的两端都可以延长成为一条直线，这条直线是唯一的；第三条，给定一点和一条线段，一定可以作一个以这个点为圆心，这条线段为半径的圆；第四条，任意两个直角相等。

前4条都很容易理解，唯独第5条公理引起非议，第5条公理等价于我们数学课上学过的“平行公理”，过直线L外一点x，有且只有一条直线与直线L平行。

一直到19世纪，很多人都想从前面4条公理出发来证明这第5条公理，很可惜，这些证明都不靠谱。既然第5公理证不出来，19世纪以后，数学家开始思考：第5公理是不是跟前4条公理没关系，是不是一个独立的公理？

他们仔细分析这5个公理，发现前面4条公理都限于局部，但是第5公理涉及无限，这个差别能不能用来证明第5公理的独立性呢？ 数学家找到一种曲面，在这种曲面上，前面四个公理都满足，唯有第5公理不成立，这个曲面称为双曲曲面，过直线外一点至少存在两条与它不相交的直线。

双曲曲面还有另外一个奇特之处，这里三角形的内角和总小于180度。在宇宙中，是确实存在这样的三角形。选择地球和另外两颗星星为三角形的三个顶点，从地球上观测这两颗星星，光线组成三角形的边，边长单位是光年，假设太阳在这个三角形的中间。早在1919年，科学家就测量到，这个三角形的内角和小于180度，这说明空间因为太阳的引力而发生弯曲。就大尺度的时空形状而言，双曲几何大有用武之地，可能是比球面几何和欧氏几何更好的模型。

第四个专题：估计与近似。

高尔斯说，对于很多问题而言，如果能找到精确解，那简直是奇迹。在多数情况下，只能找到一个近似解。如果你执着于精确的结果，对这种近似解不屑一顾，那就可能错过数学中很多伟大的定理和有趣的问题。

素数被认为是自然数的根基，素数的分布是一个备受关注的问题。在1~10之间有2，3，5，7这四个素数，在1~100之间有25个素数。但是随着范围的增大，素数分布变得疏朗起来。

给定一个自然数N，问在1到N之内有多少个素数，很多著名的数学家研究过这个问题，发现不存在一个公式可以表示出1到N之内素数的个数。代替精确公式的是一个估计，称为素数定理，定理说，“1到N之内约有N/lnN个素数”。用前文说过的1~10之间有4个素数，在1~100之间有25个素数来验证，精度基本可以。这个定理最大看点是用了“约有”这样一个不确定的词。当不能给出准确结果时，给出一个估计的结论是数学研究的又一大进步。

解读 | 韩正之，上海交通大学教授、博士生导师、研究生院原常务副院长。

播音 | 张煜

策划编辑 | 陈艳

音频编辑 | 陈子夫