勾股定理简单吗？数学家关于勾股定理的各种脑洞

今天咱们老惯例，来聊一个看似简单的问题，就是勾股定理，勾三股四弦五，我们小学就知道了，一个直角三角形的三条边，斜边的平方等于两条直角边的平方和。a^2+b^2=c^2，在西方叫做毕达哥拉斯定理。相传是古希腊的毕达哥拉斯最先证明的这个定理，所以才以他的名字命名的，但是毕达哥拉斯本人的证明方法已经失传了，后来是欧几里得把这个定理记录在了他写的几何原本当中，并且欧几里得自己给出了一个证明方法。其实勾股数早就有，公元前2600多年的古埃及，人们就知道3、4、5是一组勾股数。但是能够被称作定理还是从毕达哥拉斯，欧几里得这时候开始的。关于勾股定理的证明方法也实在是太多了，上百种肯定不止，咱们就不说了，我相信你们肯定也有自己的证明方法，勾股定理应该是最经典的一个能够把几何和代数联系到一起的定理，现在数学的分支有很多了，早些年数学就只有几何和代数。如何建立的联系呢？勾股定理本身是几何问题，但是它却延伸出了很多代数问题。那咱们就按照这个思路来聊一聊，首先，如果让你画一个直角三角形你肯定能画出来很多种，但是如果我加一个条件，就是这个直角三角形的三条边的边长都得是正整数，请问你能画出多少种呢？那我们把这个问题转换成代数问题就是满足a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)有多少组呢？是有限的还是无限的呢？