数学丨16 怎样让分数变得更美？

上节课，我们讲解了杨辉三角，这节课，我们来聊聊，怎么才能让分数变得更美。

数学中的美

说到变美，大家想到的最多的是什么？是化妆p图还是打开美颜相机？其实数学中，大部分的计算工作，都是在做同一件事情——变简洁。

仔细想想，不管是加减乘除，都是让两个数变成一个数，让我们一目了然。不管是合并同类项还是通分、约分、去分母，也都是把一样的东西放在一起，不一样的东西，我们想办法变成一样的，再放在一起的过程。那么为什么我们要这么做呢？这就是因为，变简洁以后，我们能更直观的看见我们想要的结果。

举个例子，有一次考试，成绩出来了，校长问班主任，你们班这次不及格率是多少？如果班主任这么说：有十分之一的同学优秀，二分之一的同学良好，还有三分之一的同学是合格。那显然会让人听起来很费劲。所以如果我们只知道这三个信息，就不妨算一下:

然后直接告诉校长，不及格率是十五分之一。这样的结果，比起前面复杂的描述，显得又简洁又直观。所以我们所学习的大部分运算技巧，都是在做这同一件事——让数字的表达变简洁。

化简分数

说清楚了简洁的重要性，我们现在来思考这样一个问题。我们是如何让分数看起来更简洁的？对，就是约分！当分子分母不能再约分的时候，我们把这样的分数叫做最简分数。

那我再考考你，约分该怎么约呢？

你可能会这么说，我们找到两个数的最大公约数，然后用分子和分母同时除以这个最大公约数就可以了。比如说十二分之四。分子4，分母12，最大公约数是4.所以分子分母同时除以4，就得到了三分之一。

没错，可是你再想，12和4的最大公约数，是怎么算出来的呢？有人说，一眼就能看出来；有人说，分解质因数可以看出来；还有人说，用12除以4刚好等于3……不管是用哪种方法，都有一定的道理。可是，这些方法，都只能用在数字比较小的时候。当分子分母都非常大的时候，这些方法就不管用了。

可是如果数字更大，比如我们想知道：是不是最简分数，分解质因数的办法还能用吗？同学们可以自己动手尝试一下。

其实如果想通过分解质因数的办法，来判断这个分数，是不是最简分数。不管你是按计算器，还是自己动手算，都比较困难。今天我就来教大家一个方法，能快速的找出两个数的最大公约数。

更项减损法

比如说，我们想知道12和4的最大公约数是多少。就用12减去4得到8。再用减数4，和我们刚刚得到的差8相减，也就是用8-4，得到新的差是4。这时候我们就发现，这个新得到的差4，和减数4是相等的。于是，4就是我们想知道的最大公约数。是不是很神奇呢？我们再举个例子检验一下。

比如说，我们想知道36和54的最大公约数是多少。先算出54-36=18.再把被减数54，也就是最大的数去掉。然后，用减数和差相减，得到新的差，36-18=18。这时候减数和差相等了，所以18就是36和54的最大公约数。而我们通过检验发现，18确实是36和54的最大公约数。

这是巧合吗？如果不是，那么这个方法的原理是什么呢？为什么我们这样做差就可以找到最大公约数呢？

我们透过现象，看本质。其实道理很简单。用一句话就可以概括：两个数的差，一定是它们最大公约数的倍数。因为，如果我们把这两个数，分别记做x，y，最大公约数是a，那么不妨假设x=ab，y=ac。那么x和y的差就等于a（b-c）因为b和c都是整数并且互质，所以b-c肯定也是整数，并且与b和c都互质。所以我们就知道了，x和y的差，肯定是最大公约数a的b-c倍。

于是我们回顾刚刚的计算过程。想要计算36和54的最大公约数，那么这两个数的差——18，就一定是这个最大公约数的整数倍。也就意味着，36和54的最大公约数，跟18和36的最大公约数一定是相等的。所以我们的问题就可以转变为：求18和36的最大公约数。类似的，我们再这样操作一次。就可以把问题变成：求18和18的最大公约数。而两个相同数字的最大公约数，显然就是这个数本身。所以，我们通过这样的方法，快速的算出了36和54的最大公约数是18。

现在，我们总结一下这个方法。首先，我们把这两个数相减，得到一个差。再用减数和差相减，得到一个新的差。我们重复上面相减的步骤，每次做差的两个数就会越来越小，直到最后，这两个数相减，得到差是0。那么，最后一次做差的这两个相同的数，就是原来两个数的最大公约数。我们把这样求最大公约数的方法，就叫做更项减损法。

辗转相除法

更项减损法的好处在于，我们找到了一个相对简洁的方法，可以快速求出两个数的最大公约数。但是它还有着一定的局限性。举个极端的例子，你要是想用更项减损法，求2和999的最大公约数。那就得做500次减法运算，最后才能发现最大公约数其实是1。

这样显然太麻烦了一点。于是，为了解决这个问题。人们又在更项减损法的基础上做了改进，引入了除法运算。这样就成功的防止了，需要做太多次减法的尴尬局面。

如果想计算2和999的最大公约数，我们就用较大的数999除以较小的数2，商是499，余数是1。然后我们用刚刚较小的数2，除以余数1，商1余0。当看到余数是0的算式时，这个算式中的除数，就是我们要计算的最大公约数。在这里，2除以1商1余0，除数是1。所以原先2和999的最大公约数，就是1。

这两种计算方法，从原理上来说，是没有区别的。唯一的区别就在于，用除法代替减法后，计算会更加简洁。

如果按照更项减损法，计算这道题，需要把999减2减2再减2……一直减499次，才能得到1。而现在，我们只用999除以2这一次运算，取余数1，就可以得到一样的结果。相信同学们只要稍微思考一下，就可以理解这其中的奥秘。

课后练习

又到了说再见的时候。这节课，我们学会了更项相减法和辗转相除法。现在，我给大家留一道思考题：刚刚我们说的分数，你会化简了吗？

从下节课开始，我们将会用四节课，给大家讲一讲人类数学进程上的四次飞跃。我们不见不散！