数学丨09 无穷大到底有多大？

欢迎收听今天的故事，我是你的朋友——杨树。上节课，我们讲解了人类最初的法典是如何制定的，这节课，我们来聊聊，无穷大，到底有多大。

宇宙的无穷

在开始听讲之前，同学们先想想，你们觉得无穷大有多大？

假如你站在一座高楼的顶端环顾四周，或者你站在海边眺望远方。你所能看到的天际线，已经很远了，那么，一望无际就是无穷大吗？其实不然，那只是地球上很小很小的一部分。于是你觉得，地球真的特别大。大到你无论如何都望不到边。

那么你知道太阳又有多大吗？翻开科学书，书上告诉你太阳的体积是地球的130万倍，什么概念呢？如果把太阳看作一个篮球那么大，那么地球就只有一粒米那么一点，甚至还要更小。这么一对比，你刚刚还觉得特别大的地球，是不是又显得很小了？

那你又知道地球到太阳的距离是多远吗？地球到太阳之间的距离，大约是太阳直径的100倍！你现在还能想象这是多远吗？还没完，现在，假设我们造出了一艘跑的超级快的宇宙飞船，从太阳往地球开，一个小时就到达了地球，那么你知道这艘飞船多久可以开到太阳系的边界吗？答案是，整整一年！

这真是太不可思议了，原来太阳系有这么大！大到难以想象。

那银河系又有多大呢？如果银河系跟中国国土一样大，那么你知道按照这个比例，太阳大概有多大吗？一个城市？一个房子？或者，一个乒乓球？都不对，其实，按照这个比例，太阳只有一个细胞那么大，肉眼都看不见，要通过显微镜，才可以勉强看清。

而宇宙中，像银河系这样大的星系，还有很多很多，多的就像沙滩上的沙子，数也数不清。这就是我们浩瀚无边的宇宙。

现在，你再环顾四周，想象一下，我们所居住的地方，到底是多么微不足道，而其实，我们所在的宇宙，也可能只是某个更大宇宙中的一粒米，外面可能还有宇宙，再外面，还有宇宙……无穷无尽。当你再也想象不出来有多大的时候，那就是无穷大。

数学中的无穷

其实在数学中也是这样，同学们想一想，你能不能写出一个数，比其他所有数字都大？肯定没有，因为不管你写出来的数字有多大，我总能把这个数字+1，使它变成一个更大的数，所以我们认为最大的数是不存在的。

那么，如果我们需要表示最大的数，怎么办呢？于是后来人们发明了一个符号——1个横着写的数字8。我们用∞这个符号，来表示无穷大这个概念。

在数学中，无穷大表示的不是某一个具体是数，而是超越了数的边界的巨大范围。不管你从中拿走多少，或者往里添加多少，它都仍然是无穷大。就好像往大海里滴了一滴水，那样微不足道。这就是数学上的无穷大。

无穷与一一对应

我们再举个有趣例子来详细解读一下神奇的无穷大。

同学们觉得整数和偶数哪个多？我猜你们一定觉得整数更多，并且觉得整数的个数，是偶数的两倍对不对？你们的想法一定是，整数分为奇数和偶数，奇数偶数一样多，所以整数是偶数的二倍。

那么我现在要告诉你，事实上，整数和偶数是一样多的！

你肯定觉得不可思议，甚至觉得老师在骗你们。没关系，现在我就告诉你，为什么它们一样多。

我们先来想一想，为什么你们认为，奇数偶数一样多？

我们回顾前几节课的知识，还记得我们在第一课里讲的一一对应吗？我猜你们的想法大概是这样的：每一个奇数+1，都会得到一个偶数，所以奇数和偶数是一一对应的。换句话说，不管你找到哪个奇数，我都能找到唯一的一个偶数与它对应。所以奇数和偶数一样多。

这里我们再复习一下演绎逻辑推理，我们用了这样一个逻辑：大前提是：两组数，如果是一一对应的，那么它们的个数一定一样多。小前提是：奇数和偶数是一一对应的。所以我们得出结论，奇数和偶数一样多。

首先，我肯定的告诉你，没有错，奇数确实是和偶数一样多的。但是我又要告诉你，整数跟偶数也是一样多的。因为我同样可以构造出一个正确的演绎逻辑，证明我说的是对的。

首先，你任意找出一个整数，将这个整数乘以2，都会得到唯一的一个偶数与它对应。比如你找到的数字是1，我就找出2，你找到数字15，我找出30。所以，不管你找的整数是什么，我都有唯一的一个偶数和你对应！

于是，我们知道了，整数和偶数也是一一对应的。那么根据我们刚刚的大前提：两组数，如果是一一对应的，那么它们的个数一定一样多。再加上我们现在的小前提：整数和偶数是一一对应的，是不是可以得出结论：整数和偶数一样多了？

有的同学就会问了：老师我觉得你说的有道理，但如果按照你的说法，如果设奇数共有x个，那么偶数也是x个，这样的话，整数有2x个。可是你说偶数跟整数个数相等，岂不是x就等于2x，那算出来x就等于0。难道奇数偶数整数都不存在了吗？这显然是不可能的啊。

这是一个很好的问题。但是这个看似正确的推理，它错在哪呢？其实问题的关键就在这个x上。我们都知道，设未知数x，这个x只能表示一个具体的数，那你说奇数到底有多少个呢？——无穷大，但是我们知道无穷大并不是一个数字，你怎么能用某个具体的数x来表示无穷大呢？

所以，大家千万不要用有限的思想来想象无穷大，这样就会导致很多很荒谬的错误。奇数的个数是无穷大，偶数的个数也是无穷大，整数同样是无穷大。而他们的个数，通过一一对应的证明，都是相等的。

这也正好印证了我们上面所说的：“不管你从无穷大里面拿走多少，它都还是无穷大，甚至你拿走一个无穷大出去，它仍然是无穷大。这才是真正的无穷大。”

无穷产生的悖论

我们刚刚之所以会犯错误，觉得偶数的个数是整数的一半，是因为我们习惯了用有限的思想来研究无限的问题。同学们以后千万要注意，一定要避免这样的错误，要不就很容易闹出很多很多的笑话。比如，很著名的芝诺悖论。

古希腊数学家芝诺说：世界上跑的最快的人，速度是乌龟的10倍，乌龟现在在前方100米的位置，那么人如果想要追上乌龟，就必须先到达乌龟现在的位置。可是那时候乌龟已经又往前爬了10米。这时候人再想追上乌龟，又要到达乌龟现在的位置。当人到达乌龟现在的位置，乌龟又往前爬了1米。然后人又要追……这样一直下去，人永远在乌龟的后面，永远追不上乌龟。

这很显然是很荒谬的。这个问题就出在了，芝诺用有限的思想研究了无限的问题。事实上，如果大家学到了高中，就可以知道，如果我们想算出人最后在哪追上了乌龟，只要100+10+1+0.1+……,一直加到无限就可以了，而这个算式，是可以解出来的。他的答案是九分之一千。当然，如果大家用小学的路程问题的方法，也可以得到同样的答案。

课后练习

听完了这个“人追不上乌龟”的故事，现在，我给大家留一道比较特殊的思考题，我们都知道，世界是运动的，可是如果我们把时间分的很细很细，比如说通过拍照，或者我们看电影按下暂停键，那么这一时刻，画面就静止了。那么请问，是不是在任何时刻，世界都可以是静止的？（我们只要在那一瞬间按下暂停键就可以做到）既然每一时刻都是静止的，那么世界又是怎么会运动的呢？

好了，这就是今天的全部内容了，希望大家听完了这节课，可以对无穷大有一个比较清晰的认识，同时也希望通过这节课的复习，让大家巩固我们之前学习过的两个重要知识——一一对应和演绎推理。

下节课，我们来讲一个全新的话题——数字，会不会孤独。我们不见不散！