数学丨06 九九乘法表有多厉害？

同学们，上节课我们讲了平均数和除法。这节课，我们来讲一讲，乘法到底是怎么来的，我们从小就会背的九九乘法表，仅仅是带给了我们乘法口诀吗？

税收与乘法起源 

随着文明不断进步，“吃了上顿没下顿”的原始部落生活结束了，人类开始进入了社会时期。

什么叫社会时期呢？

第一，要有交易。本来，生产力很低，你一天要吃十个苹果，但是今天可能只采到5个。后来，生产力进步了，我每天有15个苹果。除了自己吃之外，我还能拿出5个，去换别人的橘子。

第二，要有管理者。我们班级里，要有班主任来管理，那一个社会，就要有政府。政府管理人们，人们就要给政府交税。

那么现在问题来了，比如说，一个小国家有120户人家。每个人都要交3桶粮食。那么怎么才能快速计算出，全国一共要交多少粮食呢？

最笨的办法，就是把所有粮食放在一起，一桶一桶数；也可以用3+3+3…一直加120次。但这样的效率，明显比较低。所以，有了税收以后，人们就开始思考，有没有一种全新的运算，可以快速计算一个数字的多次相加呢？比如3+3+3…一直加120次，可不可以快速地计算出来呢？于是，乘法诞生了。

值得一提的是，虽然世界各地都发明了乘法。但是，方法却各不相同。这里我给大家介绍三种乘法运算的方法，我们也可以比较一下它们的优劣。

各地乘法方式对比

1）画线乘法

第一位参赛者，是来自欧洲的画线乘法。虽然它来自欧洲，实际上，却是由印度人发明的。但是后来，印度人发明了新方法，就把它淘汰了。没想到，它传到欧洲之后，反而流行了起来。

画线乘法，顾名思义，就是靠画线帮助我们运算。比如说，计算4×6，先画4条平行的直线，再画6条，与它们垂直的直线。这样，就会产生交点。我们数一数有多少交点，也就得出了4×6的答案。

如果是计算个位数乘法，用这个方法，很直观，也不麻烦，要是变成多位数，那方法就要稍加改变，把不同数位的数字，分开画线。

比如计算12×11。我们不用画12条线来表示数字12，而是把它的十位和个位分开表示，左边的一条线表示10，右边的两条线表示2，十位与个位之间，要额外空一段距离，这样就不会把它看成数字3。

那么11的表示方法，也是一样的。先在上面画一条线，表示10；再空出一些距离，在下面画一条线，表示1。

画完线，还是要数交点。如下图所示，一共有6个交点。但6显然不是我们的答案，实际上，我们也要区分交点所表示的意义。比如，个位与个位的交点有几个，就表示几个1；个位与十位的交点有几个，就表示几个10；十位与十位的交点有几个，就表示几个100。现在，请同学们自己来数一数。

找到答案了吗？图中，有2个1、3个10、1个100，那么12×11就等于132。

再来做道题，88×59，等于多少？

看到这道题，你会想用画线乘法吗？肯定不会，更不要说，还有更大的数字。

2）格子乘法

第二位参赛者来自印度，印度人发明了它之后，很快就淘汰掉了上面的画线乘法。这种方法叫格子乘法。

格子乘法，非常类似于我们现在使用的乘法竖式，直接计算数字，而不是数数。

比如说，我们想算，一年有多少小时，那就是365×24。既然叫格子乘法，那就要先画格子。怎么画呢？请同学们看下图：

然后，我们把365写在格子上面，把24写在格子右边。每个小正方格里的数，就由它上方的数字和右边的数字相乘得出。比如，右上方的小正方格，就是5×4=20。十位数2，填在斜线上方，个位数0，填在斜线下方。

依次类推，当我们把所有小正方格填好数字之后，就把里面所有的数字，按照斜线的划分相加。从右下方开始，分别得出0、6、7、8、0五个数字，把它们倒过来，就得出了答案——08760，省略掉无用的0，就是8760。

是不是非常的高大上啊！其实，我认为，这种方法，除了画格子比较麻烦，甚至比现在使用的竖式计算，有更高的准确率。

但是这里有一个问题。之前的画线乘法，靠数出线段交点的个数，然后通过加法得到答案，其实并没有用到乘法计算本身。到了格子乘法，就需要计算乘法了。

那么怎么才能既准确又快速地得出乘法的答案呢？

进位制与乘法表

这个问题，不仅困扰着古代的印度人，也困扰着古代的中国人。但是，我们的祖先很早就找到了解决办法：1-9，一共九个数，互相相乘，一共有45种情况。那干脆，就把他们全部列下来，做成一张表，需要的时候查一下，不就好了吗？

这就是我们熟悉的九九乘法表。后来，我们还根据它，编出了朗朗上口的口诀，连五六岁的孩子，也能背下来。

九九乘法表的出现，已经有两千多年了。那么同学们可能会问，为什么只有中国人，在那么早的时候，就造出了这么实用的工具呢？

其实这与我们之前说过的进位制有关。首先，我们知道九九乘法表中，列出了所有个位数相乘的情况。如果是使用60进制的古巴比伦人来做，那就糟糕了，因为一共有1770种情况。就算做成表，查阅也很困难。

那么问题来了，古埃及是十进制，为什么它们也没有乘法表呢？这是因为，古埃及人没有给2-9创造特殊的符号，只能用相同数量的线条来表示这8个数字。因为数字表达太繁琐，记忆难度太大，就算古埃及人做了乘法表，那也是不实用的，不实用的工具，就很难流传下来。从这可以看出，古代中国在数学上，取得了很高的成就。

所以说乘法表的来源，还是以十进制作为基础的，同学们听到这里，有没有对我们启蒙时候的数学，有了一个更加深刻的理解呢？数学的发展，每一步都是环环相扣的。我们这样去学习数学，才会更加高效。

乘法的意义

说完了乘法与进位制的关系，我们再来聊一聊，乘法思想到底有什么意义。

乘法思想，是人类社会进步的结果。因为社会的扩大，我们才需要用到同一个数重复累加的运算，因此，才有了把它简单化的想法。最后得到的结果，就是乘法。

乘法诞生之后，又反过来推动了社会的进步，让我们统计数据的方法变得更加快捷和简单。比如说，中国有13亿人。如果国家需要统计，按平均一个人一年消耗42升汽油来算，明年至少需要准备多少汽油才够用。这个运算，显然必须用乘法来完成。

乘法在数学上，也有着重大的意义。举个最简单的例子：除法是乘法的逆运算，没有乘法，除法就没法做。而初中的重点知识——方程和函数，也离不开乘法。

总结

今天，我们学习了一个重要的概念——乘法。我们了解了古巴比伦、古印度与古中国在乘法上的成就，知道了画线乘法、格子乘法、九九乘法表这三种乘法计算工具。

思考题

那现在，我来给你留一道研究性的思考题，有兴趣的同学可以上网搜一搜。我们都知道计算机是二进制的，也就是说，只有0和1两个数字。那么二进制的计算机，是怎么运算乘法的呢？二进制乘法和十进制乘法，你觉得哪一个更简单？为什么？

今天的课程就到这里，下节课，我们来聊一聊，侦探们是依据什么，推断出凶手是谁的？古代占卜的方法是否可靠？