数学丨04 有什么比不存在还可怕？

前几节课我们了解了，人类最基本的几个思想。今天，我们主要来聊一聊，有哪些数字，不是在生活中获得的，而是人为创造的。

为什么需要0

我们都知道，数字的起源都是因为生活的需要。那么问题来了，为什么我们要造出一个数字0呢？我们都知道，0表示的是不存在，没有东西。那不存在的东西，我们干嘛还要研究它呢？

比如说哥伦布发现新大陆之前，你随便问一个欧洲人，肯定没人知道美国的存在，所以也一定没有人会研究它。再比如在古代，人们没有手机的时候，肯定也不会想到打电话联系，所以那时候都用飞鸽传书或者送信。说白了就是，人们对自己觉得不存在的东西，是不会关注的，也没有办法关注。那么人们为什么还会造出数字0呢？直接说没有不就行了。

其实啊，关于0的起源，我们在第二节课里已经提到过。是古印度人，在发明阿拉伯数字的时候，发明了0这个数字。由于古印度人健全的位制值体系，他们在写数字的时候虽然更简洁更方便，但是最早的时候产生了很多问题。

比如说，在别的文明里，101这个数字，都是100的符号加上1的符号。而印度则会用两个1的符号表示，把其中一个1放在百位。但是中间如果没有一个符号隔开这两个1，那么就跟11没有区别了，为了区别11和101，印度人才迫不及待的需要一个符号，表示不存在的十位数。

也正是因为想表达的，是“没有”“不存在”这个概念，所以印度人最早先，是用一个小黑点，希望表达出，这个数字很小很小，几乎就不存在这么个意思。但是小黑点不管多小，都还是有的，要想表示真的没有，该用哪个符号更贴切呢？后来，人们才想到可以画一个圈，圈内是什么都没有的，我们就用这个圈来表示，不存在这个概念。这才慢慢有了现在0的写法。

负数

其实不仅仅是0，数学里还有一些数字不是来源与大自然，而是我们人类为了方便，自己创造出来的。负数就是其中之一。

我们到初中，老师会教我们，负数是比0还要小的数。可是0已经表示不存在了，那么比0还要小的数到底是什么意思呢？举个例子，假如你是2005年出生的，那么有没有人问你在2000年的时候，是多少岁？这个问题显然没有意义。那数学家们造出负数难道只是为了出题目来考我们吗？

不是。因为虽然大自然本身没有负数，我们的祖先还是猴子的时候，那时候大家都只是饿了就摘摘水果吃，渴了就去河边喝点水。就算要统计数字，也都是正数，所以那时候是没有负数的概念的。而后来慢慢的人们开始有了分工，人类文明开始建立起统一的标准，负数这个概念，才慢慢的诞生了。

比如人们规定了海拔高度就是以海平面的高度作为0，那么珠穆朗玛峰在海平面以上8848米，我们就用+8848米来表示它的海拔，而吐鲁番盆地的海拔高度在海平面之下154米，所以就用-154米来表示它的海拔。再比如人们规定水结冰的温度就是0摄氏度，那么冬天哈尔滨的气温比这个还低，就用零下来表示，比如-30摄氏度。

如果你平时有记账的习惯，你会发现记账也需要正负数的概念，也就是收入和支出。爸爸给了一百块零花钱，那就是+100，如果你花掉5块钱买了瓶饮料，那就是-5。所以说，负数是大自然里本不存在的数，而是前人为了我们生活的方便和制定统一的标准，而人为规定出来的数。

其实负数的出现，反倒比0还要更早些。早在两千多年前，中国古代的数学著作九章算术就已经记录了正负数的运算。当时人们把红色算筹当做正数，把黑色算筹当做负数。那时候的算筹，大部分是用来记账。所以有了红色黑色之分，记账的时候也能更加的方便。

虚数诞生

17世纪时，数学家笛卡尔给这类数取了一个名字，叫做imaginary number，翻译成中文就叫做，想象中的数。看这个名字就知道，这个数根本不存在与我们的生活中。但要注意，这个数跟零还不一样。0就是表示：什么都没有的意思。

而这个数，你可以这么去理解它：它既不是——什么都没有；又不比什么都没有，多点什么；也不比什么都没有，少点什么。它只存在想象中，是虚幻的，缥缈的，触不可及的。这个数的发现，虽然在当时，甚至几百年后的今天，都很少在我们的生活中发挥实际的意义。但是可能几百年后，我们将会因为这个数，可以穿梭时空，甚至回到过去！这些可不是妄想哦，且听我慢慢给你说。

在16世纪，人们碰到了一个难题，如果有一个数，它的倒数等于它的相反数，那么这个数是多少？大家如果自己愿意动笔，可以在草稿纸上写一写，不愿意写的，听我说也可以。

假设这个数是x，倒数就是1/x，相反数就是-x，那么1/x=-x，也就是x²=-1。你可能会说，不可能，任何数的平方都是一个非负数，所以不存在这样的数，学校老师就是这么教的。对，没错，我们接下来就是来讨论这个，不存在的数。我们给这样的数取了一个中文名字：虚数。意思是，虚无缥缈的数。

虚数的意义

我们刚刚说了，负数是人类有了社会，有了统一的制度以后，制造出来的数，那么负数是不是也满足基本的四则运算呢？是的，事实上，除了零不能作为除数，或者说不能作为分母，其余的我们见过的数，都可以做任何加减乘除四则运算。

那么为什么正数就可以开平方根，而负数就不可以呢？于是，进过几百年的努力，终于，数学界承认了虚数的存在，人们规定，用字母i表示一个虚数单位，i的平方等于-1。自此，人们打开了新世界的大门。

虚数的成立，可以说给当今最热门的量子力学打下了一个基础，也为电磁学和力学也做出了巨大的贡献。由于太过复杂，这里不多介绍。我们来讲一讲它在我们生活中，可以起到什么作用。在金庸的小说射雕英雄传中有一段，就是描写铁掌帮帮主裘千仞轻功水上漂，号称可以踏着水面奔跑而不沉下去。

而有了虚数以后，人们还真的造出了一个类似的池子，可以让人在水面上奔跑。你去网上搜一搜就会发现有很多这样的视频。其实这个池子里可不是水，而是面粉糊一样的液体。它的大致原理就是，人踏上去的频率步伐越快，就会有越大的力支撑你的身体，让你不掉下去。而这个频响的计算，就与虚数有关。

到目前为止，虚数实际的应用，可能还没有完全体现出来，不过，相信随着时代的发展，在不久的未来，虚数一定会带给人们更多更有意义的应用。

总结

总结一下，今天，我们讲了三个本不存在在自然界中的数，0，负数和虚数。0就是人们用来表示什么都没有的一种状态，负数则是人类社会诞生后，根据人为的规定和人们 的需要，而造出的一类与正数有相反意义的数。而虚数，则是根本不存在在世界上的数，它的平方，甚至是个负数。

课后练习

最后，我来给你留一道思考题。除了我们说的温度，海拔，和算账，负数在我们的生活中，还有哪些应用？

感谢你收听今天的“不一样的数学”，下一节课，我们来聊一聊平均数与除法。我们不见不散！