数学丨02 为什么数数是逢十进一？

引入

上一节课，我们讲了数字的起源。我们小时候学数数，都是这么数的：12345678910，然后呢？是11，12……可是，你有没有想过，11是什么？是比10大1的数。对，那你又有没有想过？为什么比10大1的数叫11，而比6大1的数不叫六一呢？六一还是儿童节呢！多开心。

其实啊，这就是因为，人们习惯采用十进位制，来表示数字。那么，什么是进位制呢？为什么我们的祖先选择采用十进位制来计数呢？这就是我们今天要讲的内容。

进位制，由“进制”和“位制”两个不同的概念组成。别看只有一字之差，它们可大不一样。光是从“进制”的出现，到“位制”的诞生，就足足过了两千多年。

进制的回顾

关于“进制”，其实我们上节课，已经说过了，就是收纳盒的思想，把几条竖线分成一组，再用一个特定的符号，来表示这一组竖线。这个分组归纳的过程，就叫进制。比如，你把十个数字分成一组，就是十进制，你要是把12个数字分成一组，那就是12进制。进制的诞生已经将我们的数字变得相对简洁了，但是只有进制还不够完美，还需要位制，才能使得数字看上去更加清晰明了。

给大家讲语文有意思的李树，有这么一句话，写作文的关键就是——折腾。比如院子里有两棵枣树，鲁迅就会这么写：“院子里有两棵树，一棵是枣树，另一棵还是枣树。”数学学习的过程，跟写作文相反，是一个简化的过程，如果你用这种简化的思想去学习语文英语，效果恐怕不会很好。比如我小时候，第一次看图写话，我看了半个小时，最后只写出来七个字”小明在家洗衣服”。这种简化的过程，用在作文上，毫无意外的获得了全班倒数第一名。但万幸，这种简化思想让我学习数学变得十分轻松。这才没有被人当作是个傻子。我们今天就来说说数学最古老的简化思想之一——进位制。

古埃及只有进制

说起进位制，四大文明古国，都有着自己的独特的进位制历史。我们先从最古老的古埃及说起。

说到埃及，大家可能脑中浮现的第一个画面就是古老的金字塔和狮身人面像。而古埃及人发明数字的时候，金字塔甚至都还没出现。差不多5000年前，他们就发明了1，10，100等数字符号。而当时，他们采用的正是十进制。可是他们虽然发明了十进制，但却没有给2~9发明专门的符号。这直接导致他们表示数字的方法，只能停留在，把许许多多的符号，从大到小排成一行。

比如说他们想表示895这个数字，他们就会写上8个表示100的符号，9个表示10的符号，和5个表示1的符号。这样浩浩荡荡写成一长串，一共有22个符号。看上去虽然比直接刻895道竖线简单了很多，但是比起我们现在的记数方法，还是显得十分笨重。

古巴比伦创造了进制和位制

2000年后的古巴比伦人，他们的对数字的表示，就要高明多了。

古巴比伦人没有纸张，所以他们就用工具在软泥版上刻字，等泥板晒干了，就变成了泥板书。这种泥板书坚硬无比，所以保存的都较为完整。据考古学家研究表明，古巴比伦人不仅为2~9创造了特有的符号，更是世界上第一个发明位制的民族。

所谓位制，就是同一个数字，在不同的地方，表示的数值不一样。比如说66的第一个数字6表示60，第二个数字6就表示6。这在当时可以说是非常先进的思想。那现在，你来想一想，为什么古埃及两千年来都没有位制的概念，而古巴比伦人却仿佛生来就会呢？

原因很简单，正是因为古巴比伦人，给2~9创造了特有的符号，才加速了位制概念的诞生。比如数字36，我推测，可能最开始，古巴比伦人会先写一个数字3，再加上一个表示十位的符号，最后写上数字6，这样只需要三个符号就可以表示36这个数字。后来，人们习惯了这套表示数字的方法，于是渐渐的省略了中间表示十位的符号，默认个位的前一个数字是几，就表示几十；十位的前一个数字是几，就表示几百。这跟我们今天的数字，已经十分的接近了。

但还有两点不一样。第一，古巴比伦人没有采用十进制，而是采用60进制。第二，古巴比伦人没有为0创造单独的数字。这就导致，想表示606这个数字，就只能把两个6中间空出一些距离，稍不注意，就很容易和66看错。在这一点上，四大文明古国的另外两国，也就是古印度和我们古代中国，做得就要好很多。

阿拉伯数字其实是古印度的发明

史料记载，古印度和古中国都采用十进制。在古中国，人们会用算筹来表示数字。算筹，具体是怎么表示数字，这里不展开说。大致方法，就是分为横式和竖式两种不同的表示方法。每一种都有独立的表示1~9的方法。当人们要表示个位，百位，万位等这些奇数位数字时，就用竖式表示，而表示十位，千位这些偶数位数字的时候，就用横式表示。所以比如895这个数字，8和5就是用竖式算筹表示，而9就是用横式算筹表示。由于奇数位和偶数位表示数字的方法不同，就比较容易判断数字到底是哪一位上的。至于为什么中国人采用了两种不同的记号来表示同样的算筹，我们之后再说。

我们先来说一说，阿拉伯数字。说起阿拉伯数字，你肯定会顾名思义，认为是阿拉伯人创造的。实际上，它是古印度人发明的。之所以被称作阿拉伯数字，是因为在公元5世纪左右，阿拉伯人征服了古印度。结果他们发现，印度人记录数字的方法，比自己厉害多了。于是，胜利的阿拉伯人偷走了印度人的智慧，并继续发展。

后来，阿拉伯的商人们把这套简洁的计数方法传到了欧洲，被蒙在鼓里的欧洲人，自然就把它叫成了阿拉伯数字。如果有人问你，世界上最大的“盗版”是什么？那你可以告诉他，一定是阿拉伯数字。阿拉伯数字不仅在进位制上采用的是现在最为常见的十进制，更是第一个发明了0这个特殊的符号。关于0的起源，我们后面的课程还会有介绍，这里就不展开说了。

古中国十进制与二进制的融合

我们再回到上面的问题，为什么中国人造出了一竖一横，一共两套算筹，交错摆放在一起，来表示数字？

数学，起源于生活。中国文化博大精深，在我们祖先的眼里，任何事情都是有两面的，有横就有竖，有黑就有白，有阴就有阳。但是它们又都是一个统一的整体。所以后来道家的易经中讲“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，这就是世界上最早的2进制思想。所以我们的祖先在记录数字的时候也发现，可以把算筹横着放，也可以竖着放。他们表示的数字完全一样。既然这样，数字就应该是横竖交错的摆放才是符合大自然规律的。这就是中国的算筹，有一横一竖，一共两套的原因。而在几千年后的今天，二进制也凭借计算机的发展，发挥出了巨大的能量。

至于古巴比伦人的60进制，现在也有很多地方仍在使用，比如一分钟有60秒，一小时60分钟。在天文上，科学家们也喜欢使用60进制。但是使用率最高，最为普遍的，还是十进制。如果非要给十进制的产生找个理由，古希腊哲学家亚里士多德认为，这可能是因为，人们有十根手指。

总结&预告

这节课我们主要介绍了进位制的历史背景，讲解了四大文明古国在进位制和数字发展上取得的成就。好了，最后，我来给你们留一道思考题。进制，和位制的思想有什么区别，它们分别是怎么让我们的数字表达更简单的呢？下节课，我们来讲一讲数学上另一个最基本的概念，相等。到底什么才是可以放在一起比较的呢？我们下节课，不见不散！