证明如下:
假设我们要求f(g(x))对x的导数,且f(g(x))和g(x)均可导。
首先,根据定义:当h->0时,g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h,所以,当h->0时,lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有:g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理:f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以,f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h (其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h)
所以,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时,u和v都->0,这个容易看。
所以当h->0时,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
证毕
简介
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,只有当Mx∩Du≠Ø时,二者才可以构成一个复合函数。
设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。
有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数(composite function),记为:y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。
复合函数求导公式:①设u=g(x),对f(u)求导得:昌族f'(x)=f'(u)*g'(x),设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。
设函数y=f(u)的定义域为4102Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果 Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u,有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系,记为: y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)1653。
扩展资料
可以罩纯通过观察自变量的形式来确定此函数是否为复合函数。举个例子,如f(x)=sin(x),自变量是x,这就是个简单的函数。
再如f(x)=sin²(x),虽说自变量仍然是x,但原函数也可以换个角物迅咐度,看作f(u)=u²,自变量是u=sin(x),这样的话,sin²(x)就是个复合函数了。
设函数Y=f(u)的定义域为D,函数u=φ(x)的值域为Z,如果D∩Z,则y通过u构成x的函数,称为x的复合函数,记作Y=f[φ(x)]。x为自变量,y为因变量,而u称为中间变量。
复合函数导数公式是f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)。
复合函数的运算法明拆答则:
设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)御衡的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系激慧。
复合函数求导的方法:
f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u),从而(公式):f'[g(x)]=f'(u)*g'(x),举个例子,f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)。
所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u,得f'[g(x)]=2cos(2x)。
以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x),y'={sin(3-x)]'=-cos(x),一开始会做不好,老是要对照公式和例子。
但只要多练练,并且熟记公式,最重要的是记住一两个例子,多练习就会了。