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“美其名曰”是正确的用法，而“美名其曰”则是错误的用法。

“美其名曰”是一个成语，意思是给某个名称或事物取一个好听的名字，常常用来表达一种幽默或讽刺的意味。这个成语来源于古代中国，当时的人们常常给物品或事物取一些富有诗意的名字，以增加它们的魅盯谨力。

例如，有些人可能会把一个难看的植物叫做“仙客”，因为它们相信卖闷这个植物能够迎接神仙。这种给事物取好听的名字的习俗，不仅在中国有，在很多文化中都有。

相比之下，“美名其曰”则是一种错误的用法，它把“美其名曰”中的“其”字误用为“名”，从而形中则弯成了一个语法错误。这种错误常常在口语或书面语中出现，但正确的用法应该是“美其名曰”。

总之，“美其名曰”是一个常用的成语，可以用它来给事物或名称取一个好听的名字，而“美名其曰”则是错误的用法，不应该使用。