黎曼猜想

黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上Re(s)=1/2的直线称为“critical line”。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于critical line上。这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在 1859 年提出的。从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。

黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 [6] 

在复平面上的解析延拓。

之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 （否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语）。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为： 

这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分（即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ ，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)，按照现代数学记号应记成： 

其中积分路径C跟上面所述相同，环绕正实轴，可以形象地这样表示： 

式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1：Γ（s)=(s-1）！。可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ 函数的完整定义。

运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式： 

从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数） 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零。复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上，也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line（临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

1850-1860，德国人B.Riemann（Gauss的博士生）使用无穷级数，定义了一个函数（定义域是复平面挖去一些点）,我们称之为Riemann Zeta函数。

猜想是说：这个函数取值为0的点都集中在复平面的一条线上（z=x+iy,x＝1/2，y任意）。

本猜想并没有什么实际生活中的应用，但是很多数论上的问题，可以归结为它。

广义黎曼猜想是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。这个猜想是指黎曼ζ函数：ζ(s)=∑1/n^s(n从1到无穷）的非平凡零点都在Re(s)=1/2的直线上．