形如z=a+bi(a、b均为实数)的数称为复数。其中,a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。
当z的虚部b=0时,则z为实数;当z的虚部b≠0 时,实部a=0时,常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。
应用
1、在系统分析中,系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法(Nyquist plot)和尼科尔斯图法(Nichols plot)都是在复平面上进行的。
2、信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度,辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。
3、在应用层面,复分析常用以计算某些实值的反常函数,藉由复值函数得出。方法有多种,见围道积分方法。
4、量子力学中复数是十分重要的,因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间。
康复是指采用医学、工程、心理、教育、职业和社会等各种手段,使残疾人的身体、感官、智能、精神和社会生活等方面功能达到最佳水平,以增强自理能力,融入社会,提高生活质量。
复数概念及公式总结:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。
复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,它的平方等于-1,即i2=-1;实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立i与-1的关系:i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i。的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1。
对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。
复数的运算公式
(1)加法运算
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,它的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
(2)乘法运算
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,则:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i2=-1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
(3)除法运算
复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法:可以把除法换算成乘法做,将分子分母同时乘上分母的共轭复数,再用乘法运算。
复数的性质
1.共轭复数所对应的点关于实轴对称。
2.两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数。
3.在复平面上,表示两个共轭复数的点关于X轴对称。