柏阳高考英语

我们小学班和中学班的数学课，都是用孙映柏老师的阴阳数学体系，来学习现代的数学这门学科。

孙老师是一名数学教育家，有几十年的数学教学经验，用“阴阳”的理念把数学上很多说不清的部分，清晰串联起来了。学习数学亦是一种思维的学习，掌握知识是基础，其中的奥秘得以贯通才真是其乐无穷。

01

小学数学中5×5表示什么？5个5相加的简便运算，用乘法表示加法的计算方式，这是我的认识。印象中，小学时学习乘法是这个思路，对乘法最直接的印象就是九九乘法表

孙老师教乘法，不背表，直接看。乘法不仅仅看做运算方式，而是把代数与图形结合在一起学。比如5×5，用方表示如下：

5 P（5,5）

0 1 2 3 4 5

（纵轴上也依次标上0-5，在此略。）

用方来表示，5×5不仅仅是5个5相加，而是横轴为5、纵轴为5形成的二维图形。这个方包括25个1×1；由此而形成的方中还能找到其它乘法（4×5，,3×5，2×5等，乘法的积是可见的，不用背乘法口诀表。在练习中逐步熟悉，看到一个乘法时，自然的有一个方出现）；

再进一步，定点P（5,5）这个抽象的点变得具体可见。当然，今天的课堂上，并未标出P（5,5），只是老师知道这个点的意义，并带此意识。所以，孙老师说：有方就有乘，有乘就画方；乘法不背表，直接看。

这两天的数学课，孩子们通过折纸、摆棋子、画方几种方法轻松的接触乘法。课堂上，老师说的、教的并不多，而是让孩子在做中去寻找结果。

附上几张老师的手稿，从中可以了解孙老师这样教乘法，在基础数学中贯穿的一致性：

不一样的乘法表

02

小时候我们都是背乘法口诀表的，今天来看看，魔法学校的孩子们怎么学乘法。

当大国老师把“第三课 乘法表”写在黑板上时，有那么两个娃娃可能在想：嗨，简单，我已经会了。这两娃不老老实实听，结果一做题，就“蒙嘎啦”。我无情地告诉他们：“再想想，有别的做法！”看他们埋头皱眉的，脸上的表情也庄重了些，这就对了。

仍然是昨天那个5×5的方

5

5

10

15

20

25

4

8

12

16

20

3

6

9

12

15

2

4

6

8

10

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

（图1 纵轴数字略）

大国老师给每个孩子准备了一个直角三角板，先找4×5的方。先在横轴上找到4，将三角板直角的一条边比齐它，再找到纵轴上的5，将三角板直角的另一条边比齐，直角两条边相交处为20，也就是说4×5的积是20。直接看就能找到答案，是不是？孩子们做了几个相似的练习后，现在，要检验一下了：

0 1 2 3

（图2，纵轴数字略）

3×3=9,在表中哪个格子里可以填上9呢？

应该说这个题还是有些抽象的，留意的话，可以觉察到它是图1中的一部分。有意思的是，并没有孩子从中照搬答案，而是依据自己的理解开始填数。

类似的练习做熟后，现在请他们自己在5×5的方里，填上所有数字。

说实话，这个时刻让人期待，孩子们也有些兴奋，望着一张空表，这么多数字要填，可不是靠记忆能填得出来的。想想吧，这个做题的过程，孩子逐步的体会到数字排列的规律，心中越来越确信，而生出的喜悦。填完之后，还可以继续玩，这张表里还有可发现的乐趣。

这样学乘法是不是很酷？

认识象限

03

今天星期一，数学课延时10分钟下课，显然没出现什么星期一现象，孩子们在课堂上循着大国老师的教学思路走，学得很过瘾。他们学什么？先卖个关子，且看这两节课如何一步步紧扣上的。

取张A4纸，沿横、纵中线对折，这样会得到一个直角坐标。用铅笔沿折线描线，在坐标的四个方向相应写：上、下、左、右。在交叉点写上“0”，并告诉孩子这是原点。沿逆时针方向在直角坐标的四个区域依次写上1、2、3、4，分别称之为第一、二、三、四象限。现在要区分它们四个区域的不同，如何用一种颜色区分？把2、4象限涂成深色即可。

现在知道了，在讲象限。给二、三年级的孩子讲象限？为什么？怎么讲？孩子能懂吗？这些问题如果回到课堂，看着孩子们一步步做，也许就不会有过多困扰。可没亲临教学现场，恐怕难免都会惊讶，毕竟象限是中学的数学内容。孙老师在玩什么？

备课时，孙老师要我们放下过往教学大纲带来的思维惯性，不要牢记挂着这是小学、那是中学的内容，要回到数学本身。这位老教师的大胆程度，可不是来自于他的玩心，而是来自于他多年对数学教学上的思考与探索，当他体悟到越来越多的妙处时，阴阳数学的框架像山间溪流，奔流不息，融汇贯通。

今天，这位年近八十的老教师，满怀热情地带着我们备课，随堂指导，看娃娃们轻松地学数学，是最令他振奋的事了。每天的课堂，是这位老先生最好的营养素。

上个学期学习正负数运算时，孩子们已经熟悉了：下为阴，上为阳；左为阴，右为阳的表达。回到象限来看，四个象限有第一象限为右上（阳阳，＋＋），第二象限为左上（阴阳，－＋），第三象限为左下（阴阴，－－），第四象限为右下（阳阴，＋－）。这些对孩子而言都不难，大国老师稍做启发，孩子们自己能回答。

在坐标上取点P（3,2），画线，形成3×2的方，这个方的积是多少？如果忘了，娃们从之前做的乘法表中可以找到答案。讲到这，大部分孩子都无隔地在课堂上掌握了学习内容。

上节课，大国老师让孩子们分别画了在不同象限的方，并留下家庭作业，今天没问娃娃们完成得如何？进入“点与方”的学习前，我心里还是在犯嘀咕的，孩子们能理解吗？在某个点卡住了，怎么办？可以说，有担忧，又期待，更多的是期待。

进入课堂，看娃们一小时四十分钟在大国老师的引导下，一步步往下，跟着这个节奏，我随时走到娃们面前看他们如何做题，已全然忘了还有什么要担忧的。这堂课，可以感觉到孩子们做题做得很过瘾。这就是孙老师指导的阴阳数学课，这样的数学课堂并不倡导老师多讲授，而是要求老师稍作讲解，适可而止，给孩子足够的空间去想、去做。

这是今天课堂孩子们完成的学习内容：

点

标数

方

象限

阴阳

积

P

（3,2）

3×2

1

+

+6

K

（-3,2）

-3×2

2

-

-6

A

（2,4）

2×4

1

+

+8

A’

（-2,4）

-2×4

2

-

-8

这就是在学乘法

04

和上学期一样，一堂课，讲课的老师有双重身份。站在台前，即是娃娃们的老师，给孩子们讲课；又是孙老师的学生，接受孙老师的随堂指导。下课后，孙老师边走边和听课的家长聊天，大家聊得兴致盎然。如果不是在课堂中，伴着娃娃们一分钟一分钟度过，看着他们一点点通过练习与老师引导，从不会到会；那么即使是数学不错的家长，可能也难以将这堂课的内容清晰地带给孩子。一位爸爸课后感慨，上好这堂课，老师要清晰、严谨、形象。

当讲到这儿时：画A（x,y）关于y轴的对称点A'，A'(-x,y), ？ 不变， ？相反?

娃们有些懵了。看点的标数画相应规格的方，娃们基本上会了，昨天的家庭作业接着练习关于xy轴的对称点，可是讲这里面蕴含的规律总结成一句话的概念，在这儿有些接不上了。

孙老师果断地走上讲台，让大家站起来，平展手臂。

转动右胳膊至左边，可以看到右手手心变手背（阳变阴，+变-）；转动左胳膊至右边，可以看到左手手心变手背（阳变阴，+变-）。

反复做几次，娃们的感受越来越清楚了，虽然一时说不出来，但他们用身体觉知到：当我们站立，平展手臂时，人就成为了直角坐标，身体为y轴的话，y不变，x的阴阳有变，正好相反。同此道理，运用手臂上下摆动，可以看到x轴上的对称点，x不变，y相反。

如果不是将小学到初中数学教学内容熟稔于心，如果不是看到数学中的阴阳变化一以贯之，孙老师也将难以带娃们轻松的跨过这个卡点。正是因为孙老师有这样的底气，相信基础数学的框架已在老师心里无数次切磋琢磨，他站在台前的态度才这么笃实。也正是老师的这种态度，带领老师家长们重新学数学，带领娃们不自觉地走上一条前所未有的数学学习之道。

黄老师介绍了一种学习方法，向一位老师学习，首先学习他的思维方法。无疑，一位年近八十岁的老教师，在基础数学教育这条路上探索多年，老师长久以来形成思维的方式，远不是我们通过现有的认识，去分析思考再考虑就能完全明白的。

如果没有对老师的信任，没有将已熟悉的学习经验放下的勇气，恐怕不在第五十次质疑中退却，就在第九十九次质疑中退却。

站在师范门口，我请教孙老师：这个版块学习乘法，为什么讲象限了？

孙老师说：这就是在学乘法呀，四个象限，乘法中的各种变化都有了。

我明白了，我还停留在九九乘法表里，想着如何熟练地运用乘法计算，而孙老师已将乘法放在二维空间，与未来要学习的函数融为一体，并开始垫定基础了。

一步步做出来了

05

今天星期三，数学版块进入第二周第三天。前几堂课围绕象限展开，第七堂课“方与乘”，且看娃们这堂课做了些什么。

一开课，做一道练习题，根据点画方：A（10,10）；B（+2,10）；C（10，+3）； D（+2，+3）。

为什么有的正数写正号，有的正数不写正号呢？昨天错过了数学备课，一看到这组数字，一时没明白这份用意。大国老师叫来四位同学在黑板上画出这四个方（图一），这对孩子们而言比较容易，要注意的是横、纵轴数的顺序，别把横轴x上的数写到纵轴上去了。

（图一）

四个方画好了，再请四位同学把不同规格方的积写出来（图二）

（图二）

最后请一位同学把四个方的积加起来。

好，第一部分完成得很顺利。接下来很快的过这几个题，为之后的运算做个小铺垫。孩子们接受得比想象中要快。

1×10＝10

2×10＝20

10×10=100

11×10=110

200×10=2000

接着再问一次，图二中四个方，它们的积之和是多少？不用四个方，一个方怎么做？（图三，分步完成的图）。画方求和可以分几步：

1、图三有几个方？

2、把四个方的积写出来。

3、算出它们的和。（100+20+30+6=156）

（图三）

再看一个题：11×12=？ 看看详细图解，如下：

11×12=132，是不是一目了然？

乘法还可这么算：11×13=？ 图解如下：

娃们看着一步步最后得到答案，高兴地说：“好好玩！”又觉得惊奇：“真的做出来了！”

这堂课还没完，趁热打铁，大国老师又结合数的阴阳变化，出了带负号的乘法题。看有的孩子居然可以清楚的区分（-2）+（-3）=（-5）和（-2）×（-3）=6，实在是没法说清孩子是怎么做到的，有孩子确实是做对了。下堂课讲继续练习巩固。

在这个世界上，有很多人物，他们各自拥有着自己的人生和故事。但有时候，他们会因为一些意外的原因，而在某个时刻相遇。这就是我们今天要讲述的故事，关于小沈阳和张柏芝的一次意外的相遇。

小沈阳的故事

小沈阳，是一个来自辽宁的小伙子。他出生在一个普通的家庭，父母都是普通的工人。在他的童年时期，他就展现了出色的表演天赋，常常在学校和家庭中表演小品和相声。后来，他考入了北京的一所艺术学院，开始了自己的演艺生涯。

在北京的艺术学院中，小沈阳遇到了许多志同道合的伙伴，他们一起探索着艺术的奥秘，一起打拼着演艺事业。在这个过程中，小沈阳也逐渐成为了一名备受欢迎的相声演员。他的表演风格幽默诙谐，深受观众的喜爱。

张柏芝的故事

张柏芝，是一个来自香港的女演员。她出生在一个艺术世家，父母都是演员。在她的童年时期，她就开始接触演艺事业，并且展现了出色的表演天赋。后来，她考入了香港的一所艺术学院，开始了自己的演艺生涯。

在香港的艺术学院中，张柏芝遇到了许多优秀的艺术家，他们一起探索着艺术的奥秘，一起打拼着演艺事业。在这个过程中，张柏芝也逐渐成为了一名备受欢迎的女演员。她的表演风格自然流畅，深受观众的喜爱。

意外的相遇

一天，小沈阳和张柏芝同时接到了一个综艺节目的邀请。他们都要参加这个节目的录制，但是并不知道对方也会在场。在录制现场，小沈阳和张柏芝意外地相遇了。

他们互相打招呼，然后开始进行节目的录制。在录制过程中，小沈阳和张柏芝互相合作，一起表演节目。他们的表演配合默契，笑声不断，场面十分欢乐。

结尾

这次意外的相遇，让小沈阳和张柏芝之间建立了深厚的友谊。他们之后还一起参加了许多节目和演出，为观众带来了更多的欢乐和感动。

这就是小沈阳和张柏芝的故事，一个关于两个演艺界的人物，因为一次意外的相遇而建立深厚友谊的故事。他们的故事告诉我们，人生中有很多意外和惊喜，我们需要保持开放的心态，才能更好地把握机会，实现自己的梦想。