什么叫对称矩阵

定义：对称矩阵是元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。

如下图所示：

一般会用到的性质为：

对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

特殊的对称矩阵：

对角矩阵（主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵）

实对称矩阵（其各个元素都为实数）

【定义】

　　元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵

【特性】

　　1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

　　2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

　　3.对角矩阵都是对称矩阵。

　　两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

　　用<,>表示上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X, Y∈

　　，( A(x) , Y )=( X, A(Y))。[2]

　　任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)

　　每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

　　若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。

　　一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。

　　如果X是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵.

　　n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

　　所谓对称变换，即对任意α、 β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。投影变换和镜像变换都是对称变换。