n个平面最多将空间分成几个部分？用排列组合知识证明

1个平面，把空间分成2部分；--------1个平面。
增加1个平面，与第1个平面相交，被第1个平面与它的交线分成两个部分，每个部分，将所在空间一分为2，
增加2个部分，合计2+2=4；--------2个平面。
再增加1个平面，与前两个平面相交，被两个平面与该平面的两条交线，把该平面被分成4个部分（注意，最外侧有无穷延伸的空间），每部分把所在空间一分为二，增加4个部分，共8个部分；---------3个平面。
再增加一个平面，与前3个平面有3条交线，把平面分成7个部分，空间增加7个部分，共15个部分；---------4个平面。
可以看到，一般位置n条直线，把平面分成的部分数，等于空间增加的个数，因此求出这个数值，就能解决问题了。
1条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成4部分，设k条直线把平面分成s部分，增加1条直线，与其他k条直线有k个交点，被这k个交点分成k+1部分，每部分将所在部分一分为二，增加k+1个部分。
因此，各号线增加的部分数为（开始是1个部分0条线）：
1：1；2：2；3：3；4：4；.....n：n
总部分数=1+1+2+3+...+n=1+n（n+1）/2=n²/2+n/2+1=（n²+n+2）/2
n条直线，把平面分成（n²+n+2）/2:
2,4,7,11,16,.....,（n²+n+2）/2;
n条直线，是第n+1个平面被前面n个平面相交产生的n条直线，对于第n个平面，相交的直线是n-1条，对应被分成的空间总数为（（n-1）²+（n-1）+2）/2=（n²-n+2）/2
1个平面，0条直线，2个平面1条直线，n个平面，n-1条直线。

据此，各号平面分空间增加的空间部分数为（开始1个部分，0个空间）
1：1（无直线），2：2，3：4，4：7，........，n：（n²-n+2）/2；
n个平面把空间分成的部分数：
（1）+1+2+4+7+...+（n²-n+2）/2
=（1）+（1/2）[(1²+2²+...+n²)-（1+2+...+n）]+n
=1+n+n(n+1)(2n+1)/12-n(n+1)/4
=(n+1)[1+n(2n+1)/12-n/4]
=(n+1)[12+n(2n+1)-3n]/12
=(n+1)(2n²-2n+12）/12
=（n+1）（n²-n+6）/6
n=0，1

n=1，2，
n=2，4
n=3，4.（9-3+6）/6=8
正确。

分两步。
(1)设平面内n条直线最多把平面分成f(n)个区域，
f(1)=2,
第n条直线最多被前(n-1)直线分成n段，每一段把它所在区域一分为二，
所以f(n)=f(n-1)+n,
所以f(n)-n(n+1)/2=f(n-1)-(n-1)n/2=……=f(1)-1=1,
所以f(n)=(n^2+n+2)/2.
(2)设空间中n个平面把空间分成g(n)个区域，
g(1)=2,
第n个平面最多被前(n-1)平面分成f(n-1)区域，每个平面区域把它所在的空间区域一分为二，所以g(n)=g(n-1)+f(n-1)=g(n-1)+(n^2-n+2)/2,
所以g(n)-(n^3+5n)/6=g(n-1)-[(n-1)^3+5(n-1)]/6=……=g(1)-1=1,
所以g(n)=(n^3+5n+6)/6,为所求。