相关定义 从有理数构造实数 实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种,其他方法请详见实数的构造。 公理的方法 设 R 是所有实数的集合,则: 集合 R 是一个域: 可以作加、减、乘、除运算,且有如交换律,结合律等常见性质。 域 R 是个有序域,即存在全序关系≥ ,对所有实数 x, y 和 z: 若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z; 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。 集合 R 满足完备性,即任意 R 的有非空子集S ( S∈R,S≠Φ),若 S 在 R 内有上界,那么 S 在 R 内有上确界。 最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界,如 1.5;但是不存在实数上界(因为