黎曼和的黎曼积分的性质

线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果和在区间上黎曼可积，和是常数，则： 由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。 正定性：如果函数在区间上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在上的积分也大于等于零。如果在区间上几乎处处大于等于0，并且它在上的积分等于0，那么几乎处处为0。 可加性：如果函数在区间和上都可积，那么在区间上也可积，并且有 无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。 上的实函数是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。 如果上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。 如果是上的一个一致收敛序列，其极限为，那么： 如果一个实函数在区间上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。