二项式定理的运用

2023-01-22 02:05

（1+x+x^2)^1000=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+----a1000x^1000求a0+a3+a6+a9------a1998=?

1个回答

2023-01-22 06:16

你的题目应该搞错了，展开式是a0＋a1x＋a2x²＋…＋a2000x^2000
解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．
�取ω＝（-1+√3i）/2，则ω³＝1，ω²＋ω＋1＝0．
�令x＝1，得
�3^1000＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2000； ①
�令x＝ω，得
�0＝a0＋a1ω＋a2ω²＋…＋a2000ω^2000； ②
�令x＝ω²,得
�0＝a0＋a1ω²＋a2ω4＋a3ω6＋…＋a2000ω^4000． ③
�①＋②＋③得
�3^1000＝3（a0＋a3＋a6＋…＋a1998）．
�∴a0＋a3＋a6＋…＋a1998＝3^999

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