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关于拉格朗日中值定理的证明
2023-01-17 01:07
f(x)在[a,b]连续,(a,b)可倒,证明拉格朗日中值定理。除了用构造函数用罗尔定理证明的方法外,可不可以用积分中值定理证明呢?
1个回答
2023-01-17 04:02
可以,但是这么证明不好,且证明的定理和原定理有一些不同。如果用积分中值定理就要构造F(x)=∫f(x)dx(积分限a到x),由于f(x)在[a,b]连续,因此F(x)在(a,b)可导,根据积分中值定理,F(b)-F(a)=∫f(x)dx(积分限a到b)=f(ξ)(b-a)。仔细考察这个证明过程,首先f(x)在(a,b)内可导这个条件没有用上,只给f(x)在[a,b]连续就可以推出结论。但是在F(b)-F(a)=f(ξ)(b-a)中的f(x)实际相当于拉格朗日中值定理中的f'(x),所以这里要求f(x)连续就是要求在拉格朗日中值定理中f'(x)连续,而这是原定理中没有的条件。所以这样实际证明的是:如果f‘(x)在[a,b]连续,则存在ξ属于(a,b),使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。这个定理比原定理的条件多,因此这个定理“不好”。
相关问答
拉格朗日中值定理的证明
1个回答
2023-01-27 14:41
拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是微分学中的基本定理之一,它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形...
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拉格朗日中值定理证明
1个回答
2022-12-05 08:09
拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一,它是沟通函数与其导数之间的桥梁,也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗...
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怎么用拉格朗日中值定理证明?
1个回答
2023-01-27 18:56
x>1时,构造函数f(x)=e^x,在(1, x)上使用拉氏中值定理 得e^x-e=f'(ξ)(x-1)=e^ξ(x-1),其中ξ∈(1, x),显然e^ξ>e,得e^x-e>e(x-1),整理得e^...
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拉格朗日中值定理证明是什么?
1个回答
2023-01-30 20:31
拉格朗日中值定理证明如下: 如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f...
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拉格朗日中值定理证明
1个回答
2023-01-16 16:50
拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一,它是沟通函数与其导数之间的桥梁,也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗...
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拉格朗日中值定理怎么证明
1个回答
2023-01-10 05:27
用罗尔中值定理证明最简单,不过你要用柯西中值定理证明也是可以的. 取F(x)=x,所以ψ(x)=f(x)-f(a)-{【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】}*【F(x)-F(a)】和F(x)...
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证明拉格朗日中值定理
4个回答
2023-06-01 16:47
证明如下: 如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)...
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拉格朗日中值定理怎么证明? (接下来怎么证)
1个回答
2022-12-12 23:19
可以直接构造函数,根据罗尔中值定理证明就可以了
如何证明拉格朗日中值定理?
1个回答
2023-06-06 00:39
如下: 这里用到的方法是红色曲线与直线AB在[a,b]中横坐标相等纵坐标的距离来证明拉格朗日中值定理。 我们令曲线为f(x),直线AB为L(x),距离为d(x)。 首先我们要得出直线...
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如何证明拉格朗日中值定理
5个回答
2023-06-01 23:10
定理内容 若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: (1)在[a,b]连续 (2)在(a,b)可导 则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) 证...
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