大学数学高数求通解

y''-2y'+3y=e^(-x)cosx
(1)先求齐次微分方程的通解
特征方程
r²-2r+3=0
(r-1)²+2=0
r=1±√2i
通解Y=e^x(C1 cos√2x + C2sin√2x)
(2)非齐次的特解
设y*=e^(-x)(acosx+bsinx)
y*'=-e^(-x)(acosx+bsinx)+e^(-x)(-asinx+bcosx)
=e^(-x)(-acosx+bcosx-bsinx-asinx)
=e^(-x)[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]
y*''=-e^(-x)[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]+e^(-x)[(a-b)sinx-(a+b)cosx]
=e^(-x)(-2acosx-2bsinx)
代入原方程得
e^(-x)(-2acosx-2bsinx)-2e^(-x)[(-a+b)cosx-(a+b)sinx]+3e^(-x)(acosx+bsinx)=e^(-x)cosx
-2acosx-2bsinx-(-2a+2b)cosx+(2a+2b)sinx+3acosx+3bsinx=cosx
(-2a+2a-2b+3a)cosx+(-2b+2a+2b+3b)sinx=cosx
(3a-2b)cosx+(2a+3b)sinx=cosx
得a=3/13，b=-2/13
y*=3cosx/13 - 2sinx/13

一看到一二阶导数或更高阶导数的非奇方程,很显然要设个 入来解特解,比如（10）化为：入^2+3入+2=0,解之入1=-2,入2=-1.可设通解y=C1*e^(-2x)+C2*e^(-x),因a=0不是特征根,故令y*=a=0不是特征根,y*=ax,代入原方程,比较系数可得a=1/2,故通解为y=1/2(e^(-2x)+C2*e^(-x))

有赏吗。我可以写