求助机电一体化程序设计的题

例3-5 已知线性系统的闭环特征方程为D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0，试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性
解：按表3-3所示规律，得劳斯表如下
s4 1 3 5
s3 2 4
s2 1 5
s1 -6 0
s0 5
由于劳斯表第一列元符号变化两次，系统有两个正实部根，该系统不稳定。
（2）劳斯稳定判据的特殊情况
应用劳斯判据建立的劳斯表，有时会遇到两种情况，使计算无法进行，因此需要进行相应的数学处理，而处理的原则是不影响劳斯稳定判据的判断结果。
劳斯表中某行第一列元等于零
如果出现这种情况，计算劳斯表下一行第一元时，会出现无穷现象，使劳斯稳定判据无法使用。例如系统特征方程为
D(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0 （3-89）
列劳斯表为
s4 1 1 1
s3 3 3
s2 0 1
s1

有两种方法可以解决这种情况。第一种方法是用因子（s+a）乘原特征方程，a是正实数，再对新特征方程应用劳斯判据判断。如用(s+3)乘式（3-89），得新特征方程为
D(s)=s5+6s4+10s3+6s2+10s+3=0
列劳斯表为
s5 1 10 10
s4 6 6 3
s3 9 9.5
s2 -0.33 3
s1 91.4 0
s0 3 可见第一列元符号改变两次，所以有两个正实部根，系统不稳定。
第二种方法是用一个小正数 代替第一列中等于零的元素，继续劳斯表的列写，最后取 即可。如式(3-89)的劳斯表为
s 4 1 1 1
s 3 3 3
s 2
1
s 1

s 0 1 因为 ，所以 ＜0，劳斯表第一列变符号两次，系统有两个正实部根，系统不稳定。显然两种处理方法判断结果相同。
劳斯表中出现全零行
若系统存在对称坐标原点的极点时会出现全零行这种情况。当劳斯表中出现全零行，可用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程F(s)=0，并将辅助方程对s求导，其导数方程的系数代替全零行的各元素，就可按劳斯稳定判据的要求继续运算下去。辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同符号相反的根数，而且这些根可由辅助方程求出。
例3-6 系统特征方程如下，试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。
D(s)= s 3+10 s 2+16 s +160=0
解：列劳表斯为
s 3 1 16
s 2 10 160 ←辅助方程F(s)=0的系数
s 1 0 0 ←出现全零行由s 2行系数构造辅助方程为
F(s)=10 s 2+160
对辅助方程F(s)的变量s求导数，得导数方程

用导数方程的系数代替全零行相应的元素，得新劳斯表为
s 3 1 16
s 2 10 160
s 1 20 0 ←构成新行
s 0 160 第一列不变号，故系统无正实部根，但因出现全零行，解辅助方程F(s)得一对共轭复根 ，所以系统属临界稳定。