三角函数在生活中的应用

一、实际。

某天小明和小刚在山上玩，有棵树吸引了他们，于是小明和小刚二人打算测量出这棵树的高度，于是他们拿来了一系列的测量工具。

小明说：“以树的底部为A，底部为B，在平地上选取一点O，亮出AO与BO的距离，测量AO与地面形成的角α，BO与地面形成的角β。则得出树高为：sinβ×BO—sinα×AO。”

我说：“你的方法麻烦了，而且这颗树离地面好远。我打算把树的周围弄成平地，选取一点O，以树的底部为A，底部为B，测量出∠AOB和BO的距离，则树高为sin∠AOB×BO”

二、理论。

【例题】如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α。

(1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；

(2) 当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？

解：(1)过点E作EF⊥AB于F，由题意，四边形ACEF为矩形。 

∴EF=AC=30，AF=CE=h, ∠BEF=α，∴BF=3×10-h=30-h。

又 在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF ， 

∴tanα= ，即30 - h=30tanα. ∴h=30-30tanα。

(2)当α＝30°时，h=30-30tan30°=30-30× ≈12.7，

∵ 12.7÷3≈4.2， ∴ B点的影子落在乙楼的第五层。 

当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.

此时，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形。

∴∠ACB＝45°， 7分

∴ 45-30/15 = 1(小时).

故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光。