高一数学必修二几何证明题

过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA,PB,PC.
1.PA=PB=PC，∴OA=OB=OC, ∴点O是△ABC的外心.
2.PA=PB=PC,角C=90°，由1，点O是斜边AB的中点.
3.PA⊥PB,PC⊥PA，
∴PA⊥平面PBC,
∴PA⊥BC,
∴OA⊥BC,
同理OB⊥CA,
∴点O是△ABC的垂心.

证明：（1）∵PO⊥α，连接OA、OB、OC，则△POA，△POB，△POC都是直角三角形，又∵
PA=PB=PC，∴ △POA，△POB，△POC是全等三角形，∴OA=OB=OC，即点O是△ABC的外心。

（2）∵ PA=PB=PC，由（1）知点O是△ABC的外心，必有OA=OB=OC，∵C=90°，由直角三角形的性质可知，O为斜边的中点，即点O是AB边的中点。

（3）∵PB⊥PC⊥PA，∴ PA⊥平面PBC，BC在平面PBC，∴ PA⊥BC，∵PO⊥平面ABC，
∴ PO⊥BC，即BC⊥平面PAO，AO在平面PAO，∴AO⊥BC，同理可证BO⊥AC，∴点O是△ABC的垂心

作mp⊥ab，交点为p，连接pn
mp⊥ab，所以mp//a1a
所以
a1m/ab=ap/ab
即ap/ab=1/3

an/ac=1/3
∴ap/ab=
an/ac
∴pn//bc
mp⊥ab，∴mp//b1b
∴面mpn//面bb1c1c
∴mn//面bb1c1c

（2）面a1abb1与面abcd垂直
∴mp⊥面abcd
∴mp⊥pn
pn/bc=an/ac=1/3
∴pn=a/3
mp/a1a=bp/ba=2/3
∴mp=2a/3
根据勾股定理
mn=√5a/3

得数自己验证下
根据