连续系统的零极点对系统幅频响应有何影响

若函数 H(z) 的收敛域包括单位园（z=），我们就可在这个单位园上计算 H(z) ，
并得到系统频率响应：

根据欧拉恒等式, 其幅度,
对所有 w 值，该复数都在复平面的单位圆上，而且其位置随着 w 变化而变化。当 w
从 0 到 π增加时，沿单位圆从（ 1 ， 0 ）向（－ 1 ， 0 ）移动。

一般地，极点 d 定义为 复数 a+j β，则上式中的（–di）用 表示为：

表示在 z 复平面上由极点 di 指向单位圆上 z = 点的向量。

用极坐标形式表示为：

它恰恰是和极点之间的距离，所以，系统的幅频响应的形状可以表示为：

根据这个表达式，对于特定的 w ，与极点 di 之间之间的距离越小，其幅度响应越
大。当沿单位圆从 0 到 π移动时（在前面讲过，由于周期性和对称性，频率响应只
需画出 0~ π就够了），最靠近极点 d i 时，w 所对应的幅度响应为最大值；换句话讲，
当 w 和极点 di 的相位相符时，可获得最大幅度。而且极点位置越靠近单位圆，这个最
大值就越大 .

同样地，用 表示在 z 复平面上由零点 c i 指向单位圆上的 z = 点的向量：

因此：

其中：

对于0~π 弧度的数字频率 w ，离滤波器极点越近，离零点越远,则幅度就越大。同
样，靠近单位圆的极点，将导致滤波器形状在某一频率上有非常大的幅值，而靠近单位圆
的零点，将导致滤波器形状在某一频率上有非常小的幅值。这个幅值大小的剧烈变化可增
加滤波器的选择性。

幅度响应与零极点的关系：
极点附近出现峰值。当极点在单位圆上时，将出现 ∞ ，极点在单位圆外，
系统不稳定。
在零点附近频响出现谷值，零点在单位圆上时，零点值为零，零点可以在单位圆外。

2_53 判断滤波器的形状，滤波器的传输函数为：

解：滤波器在 z=0.45 处有一极点，无零点，其零极点如下图所示，并标出了的位置。

从图中可以看到，当 w=0 时，到极点的距离最小，而 w 接近π时，距离最大。因
为幅频响应的幅度是这个距离的倒数。所以，幅度在接近 w=0时最大，靠近 π 弧度时
最小。因此，该滤波器具有低通特性。

由于极点不是很靠近单位圆，所以该滤波器的选择性不是非常好，幅频特性如图所示。

例 2_54 推断滤波器的形状，滤波器的差分方程为：

解：该滤波器的传输函数为：
滤波器在 z=0 处有三个极点，零点在 z=j 与 z ＝ -j 处。零极点如图，并标出了
的位置。因为极点都在原点，对所有的 w 值，极点到的距离都相同，因此，只有零点
的位置影响滤波器的形状，当 w= π /2 时，e jw 到其中一个零点的距离为 0 ，则幅值
为 0 。所以，这个滤波器具有带阻特性，下图也示出了准确的滤波器特性，其也验证了
上述推测。

2_55比较下列滤波器的形状

解： 三个滤波器的零极点如图所示，它们都没有零点。
第一个滤波器的极点为 –0.7686 ± j0.5584 ，幅度为 0.95 ；第二个滤波器的极点
为–0.7281 ± j0.5290 ，幅度为0.9；第三个滤波器的极点为－0.6472 ± j0.4702 ，
幅度为 0.8 。

下图可以看出，对三个滤波器来讲，极点离单位圆最近时所对应的数字频率是相等的。所
以，幅度响应在这个 w=0.8 π处都有一个尖峰，是每个数的极坐标形式的相位。
三个滤波器中， a 的极点最接近单位圆，距离最短，所以，它的尖锋最大。下
图所示的幅频响应也证实了这点。