f(x+t)是一个复合函数,若用g(x)代替x+t,则f(x+t)=f(g(x));
定理1: 若 f(x+T)= f(x) ,则f(x) 是周期函数,且T为f(x)的周期;
若 f(x+T)= -f(x) ,则f(x) 是周期函数,且2T为f(x)的周期;
定理2:若 f(x+T)= f(-x) ,则f(x)为偶函数时,T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,2T为f(x)的周期.
定理3:若 f(x+T)= -f(-x) ,则f(x)为偶函数时,2T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,T为f(x)的周期
定理4: 若 f(x+T)= f(-x),则对定义域内任意x都成立;
若 f(x+T)= -f(-x),则f(x+ T) 为奇函数
(以上定理中函数定义域假定为R ,同时等式对定义域内任意x都成立,且T≠0)
把定理2,3结合起来,即有f(x+ T) 为偶函数且f(x)为偶函数,则f(x) 是周期函数,且T为f(x)的周期; f(x+ T) 为奇函数且f(x)为奇函数,则f(x) 是周期函数,且2T为f(x)的周期;从而可得下列定理;
定理5:给出三个判断:(1) f(x+ T) 为偶函数.(2)f(x)为偶函数,(3)f(x) 是周期函数,且T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题.
定理6:给出三个判断:(1) f(x+ T) 为奇函数.(2)f(x)为奇函数,(3)f(x) 是周期函数,且2T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题.
定理7:f(x+ T) 为偶函数. f(x) 的图象关于直线x= T 对称;f(x+ T) 为奇函数. f(x) 的图象关于点( T ,0)对称.
定理8:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于直线x=0 对称..(2) f(x) 的图象关于直线x= T对称.(3)f(x) 是周期函数,且T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题.
定理9:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于点(0,0)对称(2) f(x) 的图象关于点( T ,0) 对称(3)f(x) 是周期函数,且2T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题.
推论1: f(x) 为偶函数且图象关于直线x= T 对称,则f(x) 是周期函数,且T为f(x)的周期
推论2: f(x) 为奇函数且图象关于直线x= T 对称,则f(x) 是周期函数,且2T为f(x)的周期
定理10:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于直线x=a 对称.(2) f(x) 的图象关于直线x=b对称(3)f(x) 是周期函数,且2(a-b)为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题.
定理11:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于点(a,0)对称(2) f(x) 的图象关于点(b,0) 对称(3)f(x) 是周期函数,且4(b-a)为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题.