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急求以下高三奥赛数学题答案,要求有步骤!
2022-08-23 15:03
3个回答
2022-08-23 19:58
一、x>0,y>0,a=x+y,b=√(x²+xy+y²),c=m√xy
求是否存在正数m,使对任意正数x,y可便a,b,c为三角形的三边构成三角形,求m。
【解答】:
①∵a^2=x^2+2xy+y^2> b^2=x²+xy+y²
∴a>b,∴a+c>b恒成立
②|a-c|
即:√(x²+xy+y²)>|x+y-m√xy|
平方得:x^2+xy+y^2>(x^2+2xy+y^2)-2m(x+y)√xy+m^2xy
整理得:(m^2+1)xy<2m(x+y)√xy
即:(m^2+1)√xy <2m(x+y)
∵2m(x+y)≥4m√xy
∴4m>m^2+1
解得:2-√15
所以0
——————————————————————————————————————
二、a>0,b>0求证:1\(a+b)+1/(a+2b)+…+1/(a+nb)
【解答】:
∵{(a+b+……+m)/n}^2≤(a^2+b^2+……+m^2)/n
∴(a+b+……+m)^2≤n(a^2+b^2+……+m^2)
∴[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]^2
<n{[1/(a+b)]^2+[1/(a+2b)]^2+……+[1/(a+nb)]^2}
<n{1/[(a+1/2b)(a+b)]+1/(a+b)(a+2b)+……+ 1/[a+(n-1)b](a+nb)}
<(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+b)+1/(a+b)-1/(a+2b)+1/(a+3b)-1/(a+4b)……+1/[a+(n-1)b]-1/(a+nb)}
<(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+nb)}
<(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+nb+1/2b)}
=(n/b)×nb/[(a+1/2b)(a+nb+1/2b)]
=n^2/[(a+1/2b)(a+nb+1/2b)]
<n^2/{(a+1/2b)[a+(n+1)/2b]}
∴[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]^2<n^2/{(a+1/2b)[a+(n+1)/2b]}
1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)>0
n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)>0
∴1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)< n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)
得证。
2022-08-23 19:45
一、x>0,y>0,a=x+y,b=√(x²+xy+y²),c=m√xy
求是否存在正数m,使对任意正数x,y可便a,b,c为三角形的三边构成三角形,求m。
【解答】:
①∵a^2=x^2+2xy+y^2> b^2=x²+xy+y²
∴a>b,∴a+c>b恒成立
②|a-c|
即:√(x²+xy+y²)>|x+y-m√xy|
平方得:x^2+xy+y^2>(x^2+2xy+y^2)-2m(x+y)√xy+m^2xy
整理得:(m^2+1)xy<2m(x+y)√xy
即:(m^2+1)√xy <2m(x+y)
∵2m(x+y)≥4m√xy
∴4m>m^2+1
解得:2-√15
所以0
——————————————————————————————————————
二、a>0,b>0求证:1\(a+b)+1/(a+2b)+…+1/(a+nb)
【解答】:
∵{(a+b+……+m)/n}^2≤(a^2+b^2+……+m^2)/n
∴(a+b+……+m)^2≤n(a^2+b^2+……+m^2)
∴[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]^2
<n{[1/(a+b)]^2+[1/(a+2b)]^2+……+[1/(a+nb)]^2}
<n{1/[(a+1/2b)(a+b)]+1/(a+b)(a+2b)+……+ 1/[a+(n-1)b](a+nb)}
<(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+b)+1/(a+b)-1/(a+2b)+1/(a+3b)-1/(a+4b)……+1/[a+(n-1)b]-1/(a+nb)}
<(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+nb)}
<(n/b)×{1/(a+1/2b)-1/(a+nb+1/2b)}
=(n/b)×nb/[(a+1/2b)(a+nb+1/2b)]
=n^2/[(a+1/2b)(a+nb+1/2b)]
<n^2/{(a+1/2b)[a+(n+1)/2b]}
∴[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]^2<n^2/{(a+1/2b)[a+(n+1)/2b]}
1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)>0
n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)>0
∴1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)< n/√(a+0.5b)(a+(n+1)/2b)
得证。
2022-08-23 17:16
1.显然a>b,所以a b c构成三角形当且仅当a-b
即x+y-√(x²+xy+y²)
这个式子对于任意x,y>0成立,所以首先必须m√xy
而很容易用均值不等式证明x+y+√(x²+xy+y²)/√xy 的最小值是2+√3
所以必须有m<2+√3。其次,x+y-√(x²+xy+y²)
2-√3
所以,m的取值范围是2-√3
2.首先不妨设b=1(如果怀疑这一点,可以令a/b=c,则不等式两边同时消去b,得到一样的结果),那么就是要证明
1/(a+1)+1/(a+2)+…+1/(a+n)
为了消去根号,对左边用柯西不等式放缩:
(1/(a+1)+1/(a+2)+…+1/(a+n))^2<=n(1/(a+1)^2+1/(a+2)^2+…+1/(a+n)^2)
所以,只要证明
1/(a+1)^2+1/(a+2)^2+…+1/(a+n)^2
这启发我们证明1/(a+k)^2<2(1/(a+k/2)-1/(a+(k+1)/2))
那么对上式从k=1,2,...n求和就行了。而上式很容易证明,故命题得证
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