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关于数列极限证明的疑问
2022-08-14 10:46
4个回答
2022-08-14 15:07
1.为什么要1/(n+1)^2<1/(n+1)这一步
这是一个典型的放缩,n+1>1所以(n+1)^2>n=1,所以1/(n+1)^2<1/(n+1)
这样放缩后能使下一步证明的处理简单化
2.为什么设(ε<1)
证明极限都是要找一个足够小的领域,本题中n+1>1,1/(n+1)<1
所以可以设ε<1,我们的最终证法就是证明哪怕对于再小的正数ε,总能找到足够大的n,使得
n>1/ε-1,因此极限是0,定义没提到,你别忘了,这里的n都是正整数
2022-08-14 13:59
看来,你对极限的定义理解还是不很透彻啊。
1 是为了将来能方便的由ε表示N(注:不是n)。不用这一步也可以,只是求N时,表达式比较繁杂点而已(带根号)。
2 同样是为了便于表达N。如果给定的ε大于1,则N取任何正整数都可以。根据定义,只有对任意小的正数ε,能找到正数N,使对所有的大于N的正整数n,都有 |Xn-0|<ε,才说明 Xn的极限是0,所以,让ε>1就显得毫无意义。
2022-08-14 13:34
因为用1/(n+1)^2<ε算n的范围不好算。用1/(n+1)<ε较简单。ε>1时,任意n大于等于0,1/(n+1)<ε 都成立。其实ε<1条件并不需要。
2022-08-14 12:04
疑问一:显然要有这一步,其一:这是用定义证明的需要,定义证明中绝对值那一项是要小于ε,淡然你不小于也行;其二:这样做主要是为你方便你求N,也就是下一步中,解出当n>N时,不等式存在,也就是极限存在;总的说来,你不缩放也行,但是不方便你做题,你想要是个1/(n+1)^2,你去解N,肯定没有1/(n+1)来的快。
疑问二:你注意看那个式子 n>1/ε-1,假如ε>1了,整个式子右边就为负数了,由于是数列,n肯定是正整数,n大于一个负数那是肯定的,那你那个式子就没啥意思了,你说是吧。
明白了没?
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