大学第一节微积分，关于数列极限的证明，我没有搞懂。

数列极限的 ε-N 定义理解起来确实很困难，只有多做题，在做题中慢慢体会定义的内涵。

取 N=[1/ε]+1 是为了保证第 N 项及以后的所有项与 2 的差的绝对值（其实就是 1/n）都比 ε 小，
所以取 N=[1/ε]+2 ，N=[1/ε]+3 。。。，都可以。
至于多加个 1 而不是直接取 N=[1/ε] ，主要是为了满足 |aN-2|<ε 。
事实上，由于 [1/ε]<=1/ε ，所以实际上 1/[1/ε]>=1/(1/ε)=ε ，

多加了 1 后，N=[1/ε]+1>1/ε ，所以 1/N<1/(1/ε)=ε ，这样 |aN-2|=1/N<ε 就有保证了。

对于任意n>N时差值小于ε，由于ε可以取无穷小的数，所以相当于在n充分大时表达式的值无穷趋近于一个常数，这就是极限的含义。对于不同题目，N有不同的取法，只要保证差值小于ε成立即可。
例：(2n+1)/n=2+1/n
对于任意正数ε，在n>N时只需使|1/N|<ε，由于N为正整数，只需使N>1/ε，即取N=[1/ε]+1