60道数学竞赛题

1.在凸4n+2边形A1A2A3 …… A[sub]4n+2 中,每一个内角都是30度的整数倍，且A1 =A2 =A3 =90度，则n=?

2.不等边三角形ABC的两条高的长度分别是4和12，若第三条高及三边均为整数，求当第三条高取得最大值时，三角形ABC的周长的最小值

3.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角度数的1/4，求满足此条件的所有锐角三角形

4.周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个？（注明每个三角形的各边长）

5.用正方形的地砖不重叠，无缝隙地铺满一块地，选用边长为x cm规格的地砖，恰需n块；若选用边长为y cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x、y、n都是整数，且x、y互质，试问这块地有多少平方米？

参考答案
1、在凸多边形，其每个内角小于180度，由于它是30度的整数倍，所以其内角最大为150度。
题中要求的4n+2边形，其内角和就小于：90*3+(4n+2-3)*150
而4n+2边形的内角和等于：（4n+2-2)*180度，所以有：
(4n+2-2)*180≤90*3+(4n+2-3)*150
解得n≤1.
而n<1时，4n+2边不成为凸多边形，所以n=1.

2、设三角形三条边分别是a、b、c，第三个高是h。
三角形的面积S=1/2*4*a=1/2*12*b=1/2*c*h
由：1/2*4*a=1/2*12*b,得a=3b
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a-b再由1/2*12*b=1/2*c*h，得3再由：S=4a=12b=5c，由于a、b、c都是整数，4、5、12的最小公倍数是60，所以，面积S的最小值是60。这时，a=15,b=5,c=12,这时的周长就是周长的最小值，等于32。

3、设三个角的度数分别是x、y、z，且x≤y≤z<90度。
由题意，z=4x<90，所以x≤22度。
而x+y+z=180,得5x+y=180.所以y=180-5x≤z=4x,得x≥20度。
所以，满足此条件的所有锐角三角形的度数是：（20，80，80），（21，75，84），（22，70，88）三种。

4、
（3，13，14），
（4，12，14），
（5，12，13），（5，11，14），
（6，11，13），（6，10，14），
（7，11，12），（7，10，13），（7，9，14），
（8，10，12），（8，9，13）
（9，10，11）
共12种。

5、由题意，有：
n*x^2=(n+124)*y^2
得：n=124*y^2/(x^2-y^2)
由于x、y互质,所以x^2、y^2也互质，同时y^2和(x^2-y^2)也互质。
所以，要y是整数，124必须能整除(x^2-y^2).
124只有124、62、31、4、2、1几个因素，分别来看：
1)x^2-y^2=124,（x+y)*(x-y)=124=2*2*31,x+y=62,x-y=2,x=32,y=30。这时xy不互质数，不和题意。
2）x^2-y^2=62，无整数解
3）x^2-y^2=4，无整数解
4）x^2-y^2=2，无整数解
5）x^2-y^2=1，无整数解