二次函数公式

一、二次函数公式:

一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）

顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P（h,k）]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B（x2,0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a

二、二次函数的图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象,

可以看出,二次函数的图象是一条抛物线.

三、抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线

x = -b/2a.

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P,坐标为

P [ -b/2a ,(4ac-b²)/4a ].

当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时,P在x轴上.

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.

|a|越大,则抛物线的开口越小.

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.

5.常数项c决定抛物线与y轴交点.

抛物线与y轴交于（0,c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b²-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.

Δ= b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.

Δ= b²-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.

四、二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c,

当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,

即ax²+bx+c=0

此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根.

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.