打开
有关函数符号的故事
2024-05-11 04:53
1个回答
2024-05-11 09:32
楼主帮你找了一下:
历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用.
(一)
马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽.
自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源.
(二)
早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等.1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义.
1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为yx.
当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”.
18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法.在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”.现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延.
(三)
函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾.例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立.1833年至1834年,高斯开始把注意力转向物理学.他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许多关于磁的实验工作,提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论,使得函数作为数学的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究.
后来,人们又给出了这样的定义:如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数.“这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步.”
在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本质,主张函数不必局限于解析表达式.1822年,他在名著《热的解析理论》中说,“通常,函数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律;他们以任何方式一个挨一个.”在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数.更确切地说就是,任意一个以2π为周期函数,在〔-π,π〕区间内,可以由
表示出,其中
富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很大的震动.原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了,那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍.
通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义.
1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义:“x的函数是这样的一个数,它对于每个x都有确定的值,并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分.
1837年,德国数学家狄里克莱(Dirichlet)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,所以他的定义是:“如果对于x的每一值,y总有完全确定的值与之对应,则y是x的函数.”
根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数(狄里克莱函数):
f(x)= 1(x为有理数),
0(x为无理数).
在这个函数中,如果x由0逐渐增大地取值,则f(x)忽0忽1.在无论怎样小的区间里,f(x)无限止地忽0忽1.因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式也是一个问题.但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个f(x)仍是一个函数.
狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义.
(四)
生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾,本世纪20年代,人类开始研究微观物理现象.1930年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数,
即ρ(x)= 0,x≠0,
∞,x=0.
且
δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论.按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数.另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的.然而,δ-函数确实是实际模型的抽象.例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力.从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是
P(0)=压力/接触面=1/0=∞.
其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即P(x)=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即
函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义:若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元.
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系.
函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了.不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”.
设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为
X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y}.
积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若(x,y)∈R,则称x与y有关系R,记为xRy.若(x,y)R,则称x与y无关系.
现设f是X与Y的关系,即fX×Y,如果(x,y),(x,z)∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数.在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了.
从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要.
相关问答
函数符号的故事?
1个回答
2024-02-23 18:16
三角函数中有许多符号,其中sin,cos,tag,ctg,sec,csc是最重要的符号,但是在这些符号使用以前,人们都是用文字来进行叙述的,这样使用起来非常麻烦。在实际应用中,人们渐渐地用符号来代...
全文
数学函数符号的故事
1个回答
2024-02-13 01:02
诱导公式 sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα...
全文
二次函数符号的故事
1个回答
2024-02-21 20:23
历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十...
全文
函数符号的故事
1个回答
2024-01-24 03:47
500多年前,行车数学家维德梅发明了“+”,很形象地指出这是在一横上面再加一竖。后来,他想到把竖去掉就是减少,于是又发明了“-”。300年后,美国数学家欧德赖把“+”旋转了半圈,于是发明了“×”...
全文
函数符号的故事?
1个回答
2024-02-14 03:08
历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有...
全文
数学函数符号的故事
1个回答
2024-02-24 03:02
笛卡儿 笛卡儿(Descartes,René)(1596-1660),法国数学家、科学家和哲学家。他是西方近代资产阶级哲学奠基人之一。他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的。人们在他的墓碑上刻...
全文
函数符号的故事
1个回答
2024-02-20 13:56
17世纪末,德国数学家来布尼茨在1692年首先采用"函数"这个名词,但它仅指"幂""坐标""切比线"等概念.到1718年,函数被看成是以自主变量的值求出因变量的值的解析式子.1748年,瑞士数学家欧拉...
全文
谁知道函数符号的故事啊
1个回答
2024-02-22 05:51
�函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾.例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立.1833年至1834年,高斯开始把注意...
全文
函数符号的故事
1个回答
2024-03-13 03:39
历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十...
全文
三角函数符号有哪些?
1个回答
2022-11-28 15:30
三角函数符号有sin、cos、tan、cot、sec、csc等等。 三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。 有六种基本函数:函数名:正弦、余弦、正切、余切、正割、...
全文
热门问答
1
有句话是不是这么说来着:“你站在山上看风景,看风景的人透过窗在看你”,是这样么,还是怎么说的?
2
女朋友回家了。我该发些什么信息给她
3
完美世界国际版平民毛毛装备选择发展方向
4
今年频繁的自然灾害有什么征兆?
5
小熊梦工厂功夫之城怎么获得服装
6
七年之痒是什么意思,有什么出处?
7
永恒之塔我看见有人戴着 红色的革命团面罩 我试着去染色啦一下 发现不可以 这是怎么回事啊 怎么得到红色的
8
麻烦哪位XDJM告诉我一下2007加油好男儿淘汰选手时的歌曲叫什么名字?(每次淘汰时都是放的这个歌曲)
9
跪求儿童文学的一篇文章!
10
求救,各位高手,帮帮忙.........
11
求推荐些集数较短好看的动漫
12
喜欢一个银行里面的男生,但是他对我很冷淡,只是单纯的喜欢。我该咋办呢
13
魔兽世界残破的剑柄任务
14
奥比岛找主人!
15
怎样做有机肥?
16
盘锦有寿司店么?
17
古代神话故事里怪兽的名字有?
18
填写歇后语
19
人与动物之间的情感!像《最后一头战象》这样子的!
20
有谁知道小次郎和爱丽丝之后会收服什么神奇宝贝吗?有点迫不期待想知道。
21
《哈利波特》第1,2,3,4,5,6……各是什么名字?
22
中学生早恋怎么办?
23
推荐几部像《狼图腾》那样的小说
24
在律师事务所实习都不知道该做些什么?
25
诛仙可以交易的造化珠怎么得?
26
怎样做才能改变自己的弱点
27
异火榜的异火和介绍
28
求一部电影 外国片, 主角看到自己的未来,然后把一些会用到的东西存进银行寄给自己,然后慢慢就全部用到了,
29
星座小王子真名叫什么?
30
春江花好月圆夜
热门搜索
更多
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
傲云龙有声小说全集
艾森豪威尔
爱宝良有声小说苗疆蛊事
安奇奇成语
奥丹尊有声小说
爱心树绘本
安邦的有声小说
傲娇夫君惹不起有声小说
阿米有声书
艾宝良好听的有声小说云南虫谷
au有声书剪辑
暧昧高手88网有声小说
爱恨情仇有声小说在线收听
爱谁谁有声书
au录有声书操作方法
安全特工队
安小兔唐聿城有声书
爱讲神话的小志讲的有声书
奥特曼格斗进化有声书免费
爱宝良有声小说
艾宝良有声小说幽潜重泉
爱朗读有声小说在线收听
艾克哈特的有声书
奥美有声读物广告
爱弥儿有声书6
奥特曼故事有声小说
奥术神座阅文有声书
阿加莎小说英文有声书
爱沙公主故事
艾斯妈妈为什么
剥南瓜苗音乐
拜年快板词二年级
播放再播放评书
北京德云社相声小剧场研究
八月长安
半夜叫门问声谁相声
白话三国中国评书
比尔拉塞尔
表演快板的作文
巴音孟克相声
不负时光
北京卫视相声节目李
白说相声啦
北京年轻评书表演艺术家
冰心的散文
不孝儿女完整版二人转电影
博伊金斯
百年巨匠 徐悲鸿
避暑山庄小学清音社团
扒马褂相声刘伟
贝瓦儿歌敲大鼓
百乐堂相声
百集相声小品剧照
白举纲的相声
北京光头说相声
爆笑学生相声剧本
白眉大侠后传评书194
巴渝散打评书
北京九门快板
北辰相声
沧州哪里敲大鼓
成留学生相声社导师
春节期间铁岭看二人转
崔金泉常贵田相声
采茶纪吉他谱单弦
穿相声服配什么鞋子
初中学生四人相声台词
崔继昌的评书
曹云金经典相声小品
寸草心评书曲艺
陈世岳相声
陈曦金霏相声八大吉祥
陈树青说书
唱成相声的人
崔继昌大鼓
沧州木板大鼓刘云河和
传统评书代表人物
楚汉争霸田芳评书大全
常远相声配乐
吹牛相声张帝
从相声开始的巨星刘轩
从草根到相声巨擘
常佩业的经典相声
陈伟洲相声
楚汉大鼓名段欣赏
潮汕大鼓春秋全集
超长10个小时相声
春节晚会群口相声剧本
财神爷说相声
潮汕小品相声算命
斗破苍穹全集下载
单一女主的校园小说
多女逆推一男小说
单兵作战技能在线阅读
毒爱小说慕清冷
第一豪婿免费下载
大量现代化兵抗日小说
动漫幸福花园
大宋之神剑无敌
赌王小说在线阅读
冬天的雨小说集
都市妙手仙医80下载
电影穿越小说
带妖瞳的小说
电子书阅读阿兵的快乐生活
导演消消气小说全文免费阅读
东方神起小说
都市姜少游小说
德国畅销小说
单女主玄幻小说暖味不断
段誉木婉清石屋的小说
都市女茅山道士全本
都市巅峰高手执笔
都市危情免费下载
当代和现代的获奖小说
董香老师小说
都市类后宫文小说
电子书安卓版免费下载
当当阅读怎么下载电子书
电子书无极剑仙
二月河的雍正皇帝
儿童写小说怎么赚钱
儿女共享一夫小说
二十三道门
二十四重人格小说
二十世纪英语小说100强
二次元强化大师
二百免费阅读小说
exo小说鹿晗和吴世勋
耳雅小说作品全集
erryg小说
二十四分之一小说吕天逸
二次元中野三玖小说
erryg小说下载
echo中打入
exo好看的女尊小说
二次元小说官网
儿童名著小说排行榜
耳根逆仙下载
哦啊别插了爽啊小说
儿子与父亲相爰小说
恶魔贤者下载
恶魔法则小说怎样
exo古风虐心小说
exo来生见再无悔下载
儿媳幻想小说
二见钟情顾易北下载
恶魔之吻1
二等药膳宫女
儿童悬疑小说系列
风雨城市
福禄寿共贺
分手摆在胸口
赴红尘
放歌新北京
发光少女
风海和平
粉红
放手也是另一种爱
房屋风水禁忌与破解一
廃人化
风一吹心就漾
佛堂禅茶音乐
飞的更高
放我去流浪
风格小众品味迷人
蜂物語
分手何必找理由
繁华十里换沧笙
飞升
枋州姑娘
放下何龙雨
放弃的过程
放克律动完整混音版
风雨情怀
佛门
非礼勿视非礼勿听
复兴
佛心向善
複雑な気持ち
高达独角兽小说书评
官场小说官翔
公主万万岁下载
关于王天风的小说
公主他为什么穿裙子
搞笑古风小说言情
古风小说外貌怎么写
顾邵庭林如初小说完结版
顾未易司徒末小说吻戏第几章
哥哥别乱来下载
关于主角是巫妖小说
国民男神他联站哥
古典修真小说网
搞笑点网游小说
关于精怪渡劫的小说
高中课本外国小说欣赏
国民校草是女生完结
乖乖冰最新小说
顾君策颜豆儿小说
国色生香笑佳人完整
关于拳皇k的小说
关于星际美食的小说女生版
鬼吹灯小说不同版本
国务卿小说
关于刀塔的小说
古龙小说之间的关系
关于修仙的小说女完结篇
古代从军的小说推荐
关于大小姐的小说
郭敬明小说唯美句子
会动的音乐儿歌
好娃娃儿歌题目试讲
和彩虹有关的的儿歌
好吃的色拉儿歌动作
黄茶儿歌
和小鸭去散步儿歌
孩儿歌手
寒的拼音儿歌77
含有闻字的儿歌
黑暗中的怪物儿歌
邯郸谣儿歌怎么写歌词
哈啰妈咪儿歌
会说慌的小孩儿歌歌词
绘本小乌龟上幼儿园儿歌
红高粱九儿歌曲桃花谣
蝴蝶花儿歌mp3
绘本儿歌布谷鸟歌谱
好看的童装儿歌
红星闪闪英语儿歌
荷花荷花几时开的儿歌
狐狸儿歌小毛驴
好吧坏爸儿歌
含有乖字的儿歌有哪些
蝴蝶蝴蝶真美丽儿歌简谱
海边旅游儿歌英文歌词翻译
哄一个月婴儿的儿歌
好听的中文儿歌三字经歌词
合唱儿歌串烧
怀化有哪些儿歌
很好听很帅气的儿歌歌曲
近视眼手术北京多少钱
鲛人妃
进一周的天气预报
君主假面的主人韩剧全集
经典诵读增广贤文
江苏师范大学报考
经济法主观题
节食平台期
接听电话的程序
积极情绪和消极情绪的影响
加州旅游
将进酒小说免费全文在线
精灵的游戏
骄阳似我小说讲的什么
精灵宝可梦z
金银花的产地主要在哪里
姜可小说免费阅读 小说
佳期如梦小说全文阅读
今年的超级月亮
近十年高考生物真题
江南传奇之十五贯全集
倔强mp3下载
极品驸马爷免费播放
坚持体育锻炼英语作文
讲故事睡前男朋友
九月九日忆山东兄弟什么节日
基因和染色体的区别
肌酐 正常范围内偏高
娇纵小说全文免费阅读
肩膀作文600字
可爱相声段子
快板拉丁舞
快板岳云锤震金蝉子
快板夸夸我的爸爸妈妈
快板招工
快板的各部名称
快板三打白骨精李润杰
快板夏张旅游好风光杨军
快板儿贯口词背景音乐
快板打响校园安全歌
快板黄渤
快板工地打工难
夸别人相声说得好的歇后语
快板教师表演
快板自强自立
快板的基础入门打法
快板少数民族
快乐成长的相声
快板杨蔓
快板四级小提琴
快板用不用紧
开心麻花相声谁是主角
科尔沁走马好来宝
夸后人孝顺的快板此三句半
卡尔卡西吉他小快板回旋曲
快板串烧主持串词
快板童谣背景音乐
快板唱词罗成算卦
靠郭德纲的相声解闷
快板与三句半区别
龙的民间传说
陆游赞美出师表的诗句
流利阅读app下载
路程速度应用题
龙骨海带汤的功效
龙隐者漫画免费阅读
老爹的歌
列那狐的故事读后心得50字
论甲午中日战争
例如英语表达
雷霆扫毒国语30全集
落跑新娘总裁有个娃娃亲
乐山旅游团
骆驼祥子的主要内
陆游卜算子咏梅
老谋子司马懿在线阅读
李商隐的冷门诗
聊斋志异 王生
了不起的狐狸爸爸简介
泸州市附近的旅游景点
灵魂的陪伴
狼道夏志强免费阅读
六年级英语下册第四单元
陆地行舟by
两只小鸟爱跳舞的儿歌
力矩英语
辽宁抚顺十大旅游景区
老太太bgmbgmbgm11
乐啦儿歌
滥竽充数的阅读
免费有声小说绝世名医
魅力口才实战课
免费有声小说下山入赘
木工下咒的有声小说
明朝败家子有声小说在线静
勉费有声小说官场风云
免费有声小说纯情小子俏校花
免费听小说妖孽兵王有声小说
麻辣香橙的所有有声小说
慕少的甜蜜哑妻有声书
每个女孩都有梦有声读物
妈妈格桑拉伴奏
末世怪物乐园
茅山风云录
魔仙传有声小说在线免费收听
茅山捉鬼人
磨铁图书有声书
免费鬼压棺有声小说全部
明天下有声书免费
名师精选课课练
米小圈哪咤
麻衣神算子有声书免费听
魔道师祖有声小说推荐
魔兽之亡灵在现有声小说
毛泽东全集
每日故事有声小说在线收听
麻衣诡相有声小说
梦想飞扬有声书
民国有声小说神医喜来乐
穆霆琛温言免费阅读有声小说
能化成有限小数的分数必须是
逆鳞周杰伦歌词
奶油
你所有的不将就
女性喝水后很快就尿的原因
脑血管的急救方法
男女吵架
你好的西班牙语怎么说
你看到的春天是什么样子的写一写
女生裤子秋季
你继续
娜美的身材
能high爆全场的中文歌
牛肉干的功效
虐心小说排名前50
女性思维的六个特征
女人约会
男人电影
哪个软件音乐不要钱
女儿行女子特警队主题曲
你好邻居2游戏
哪个听书软件可以听凡人修仙传
闹钟自动播放音乐
内心放松
拿破仑的传记
农女巧当家舒薪
男保姆小说
女人气质优雅
女生必读的世界名著
女总裁的超级高手笔趣阁
欧米伽参评书机
欧弟德云社相声完整版
欧弟郭德纲相声大全
oo评书
欧阳笑相声
o浊音变清音
欧阳靖评书
欧卡2听着相声开着车迷路
欧弟首场相声
欧哥二人转
oppo音乐节周震南
oara南曦彤音频
欧弟拜师郭德纲不学相声
欧亨利小说书评
欧阳龙基相声
欧云鹏的相声
欧弟表演相声
欧洲小伙说相声
欧布奥特曼智勇
欧文德罗赞二人转全集
ota游戏说书
欧冠评书大全
欧派相声
欧弟学岳云鹏相声完整版
欧弟快板bbox
欧汉声说相声
欧若拉二人转版歌词
欧米伽三评书机
欧弟岳云鹏说相声
欧文相声
评书杨家将第十二回
评书大师的必备条件
评书式结尾好处
评书单田芳有声小说
评书白蛇传单田芳
评书樊梨花全本4
评书单田芳2019
评书古今荣耻淡
评书红岩60集
评书刘秀传42
评书曾国藩157
瓶盖相声
评书鬼谷子第一集
评书连丽如东汉演义134
评书水煮三国
评书小说三打柱家庄
平遥说书赵州桥
ps教程说书
评书连环套33回
评书小八义340回
评书东周列国志内容
评书大西塘
评书聊斋志异青凤
评书薛刚反唐续集小说
拍摄相声
评书说唐006
评书常见兵器
评书单田芳是男是女
评书新水浒后传移动版
评书荞荒纪
汽车轮胎结构
情人过生日应该怎么说祝福的话
青城山都江堰费用
汽车特斯拉价格
琦舒膏功效
奇门遁甲 天任
情侣戒指设计
沁园春长沙全文朗诵
庆祝端午节手抄报
黔南布依族苗族自治州
全球诡异时代降临
七以内儿歌律动
启蒙英语儿歌大全小马过河
清明上园
去舟山旅游路线
青年医生电视剧
全球人口第一大城市
求关于王昌龄从军行的小散文
秋天的经典诗句大全
汽车后视镜加热哪个开关
七彩音符的故事
权宠天下视频
七擒七纵的故事
骑上我的小摩托儿歌教唱
青春四十电视剧全集
球王电视剧
全集收听狄公案
七夕一个人的说说
敲门的陌生人
汽车贴膜什么颜色好
如此解说相声稿
日语清音课堂
任剑南仙音弹奏
如何传承泉州南音
如何看懂剧本和相声
人教版三年级上册语文
肉烂在锅里相声完整版杨议
仁爱版英语app下载七年级下册
任丘青塔店大鼓
如何看待相声低迷现象
人教版pep英语三年级上册
日落照片的评书
如何表达相声
人民的名义相声大兵
仁爱英语七年级下册英语书
人教版英语八年级上册单词跟读
如此主播相声主持词
人教版四年级下册数学解决问题
容桂游龙大鼓正确的打法
人不能让心情生病
人教版八年级下册英语书单词表朗读
日照艺术剧院相声马跃
如今的相声第二班
如何弹好古筝快板部分
仁爱版英语七年级下
人教版九年级英语全解
人在原神正在说书小说
如何在北京看相声
人工智能相声剧本
荣成方言相声
送给女性朋友的礼物
三国的三国演义的主题歌
少儿经典歌曲大全100首连播
书湖阴先生壁二首其一王安石
神印王座免费全集
试卷作文
孙悟空的师傅是
神魂丹帝秦朗叶可清
睡不着有什么办法可以快速入睡
色戎全集在线看
水浒传全部人物
四字寓言故事
生命因阅读而精彩
三国演义陈登
食物的英语单词大全
三字经幼儿跟读
孙悟空杀的第一个妖怪
史铁生代表作
神医毒妃:逆天二小姐
水浒传第十四回
神木垒旅游攻略
神豪崛起
山东青岛理工大学
疝气
熟睡的姐姐
孙子兵法孙子兵法
手机广播剧
隋唐演义王宝强
十万字的小说
收听率最高的有声小说
童话故事童话故事大全
头和耳朵闷闷的堵住的感觉
桃花谷
桃园三结义全文
跳舞蹈
淘气包马小跳第一集
太阳神筋络速通功效
唐砖有声小说全集在线收听
头狼小说无删减正版在线阅读
偷偷藏不住全文免费读
唐诗三百首全集免费阅读全部
天才相师下载
天幕红尘无弹窗全文免费阅读
童年第三章主要讲了什么
同桌你清醒一点全文免费阅读
txt天道图书馆
天柱山
泰剧吻戏最多的电视剧
唐诗三百首一诗一画
甜心v5 boss宠之过急
桃园三结义是哪年哪月哪日
天净沙秋思翻译
通天神捕
腾讯视频热播的电视剧有哪些
童话小精灵
通天塔电视剧
听一首想你的时候问月亮
汤姆猫跑酷游戏
溏心风暴第三季电视剧
txt听书软件下载
王一博彻底爱上相声
温州鼓词玉蜻蜓八集
我是相声狂
王丹丹超搞笑二人转
王五林评书
温卅鼓词薛平贵增金楣
温州鼓词岳飞
温州鼓词搞笑表演
文明窗口快板
午夜影场的二人转老汉背肌
王道兰琴书第十四集
武秀英琴书小两口抬水
五年工程师相声
王惠大鼓采访
王玥快板线上教学
温州鼓词宋青大难裴府
维嘉快板直播
王小蒙评书
韦小宝说书音频
我想找大兵的相声
温州鼓词酷曾福连西汉
魏广金琴书
文化传统快板内容
吴天民二人转
五十六个民族快板词
文荟艺晟相声培训
温州鼓词杀夫案
温州鼓词唐宫风云录60
王小欠钱顺风相声全集
我不听评书
相声剧本威海话
相声里演老太太的演员
相声炸黏子
相声基本顺口溜
学校晚会演相声的技巧
新三国评书版解说合集
相声界生路
笑傲传奇相声
相声满腹经纶背景
相声演员表演被打
相声社团名称大全
小学生相声元旦刷
相声演员陈曦采访
相声岳云鹏于谦学艺
小伙现场说快板
校园相声短剧本搞笑
相声名家陈鸣志
小学二人相声搞笑
相声团团圆圆
相声收姜维
相声演员的基本功训练
相声我请您吃饭我去
相声剧本2人版爆笑
血溅鸳鸯楼三分钟说书
相声行话尖儿
相声岳云鹏说岳不群
相声单口大王
相声付强个人专场
相声演员刘骥笑傲江湖
相声路
幼儿快板剧本
幼儿快板表演黄鼠狼拜年
粤语相声评书
寅子说书人2017
渔鼓取名
袁阔成评书封神演义136
渔鼓选段王福生
袁阔成的评书封神演义46
岳云鹏与孙越于谦相声音频
音乐主播小南
元宵节泉州南音艺苑
有关奶茶的快板
袁阔成评书025
与陶行知先生有关的评书
云龙的相声
一高毕业相声
与元宵有关的相声
元尊评书0066
丫蛋和沈春阳二人转
用美甲打快板
岳云鹏洛阳相声专场门票
岳云鹏这一小段的相声
于谦郭德纲相声童年趣事
岳云鹏相声啥也学不会
杨林快板
一家能听相声的地方
袁阔成评书封神演义138
永民说书
玉旺说书小八义全集
以青春之名启航相声词
最新好看的玄幻修真类小说
真实历史人物小说
重生为艾塔尔咖的小说
遮天一样小说
专属浪漫小说全文阅读
郑秀晶郑秀妍娱乐小说
租房类小说全文
折薇沈卧小说最新章节
重生之始料未及好
主人公叫小桃小说
中国人情事故小说
张爱玲小说排名第几
主角罗雷的小说
在线阅读绝品逍遥少年
主角能召唤神话人物的小说
最散仙下载免费
诛仙小说小凡质问道玄哪一章
组合数学电子书
诛仙道玄之徒下载
重生女主小说古代空间系统文
诛仙小说天帝宝库剧情
只差一句我爱你
众生之门小说下载
重生小说女主叫上官玥
重生在朝鲜战场小说
主角姓百里的都市小说
自从我抽到了茨木这大佬
躁动的青春小说小健住进表嫂家
主角有戮仙塔的是哪个小说
作者雪山图书馆的小说