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数学悖论趣谈讲了什么?
2024-04-22 00:44
1个回答
2024-04-22 05:39
悖论是逻辑学的术语,原本是指那些会导致逻辑矛盾的命题或论述。比如大家熟知的《韩非子·难一》中记载的那位卖矛又卖盾的楚国人,声称他的矛锋利无比,什么样的盾都能刺穿,而他的盾坚韧异常,什么样的矛都刺不穿,人问:“以子之矛,陷子之盾,何如?”楚人无言以对。这里关于矛和盾的论述就是一个悖论。悖论这个词在实际使用中,其涵义已被扩大化,常常包括与人的直觉、经验或客观事实相违背的种种问题或论述。因此有时也被称为“佯谬”、“怪论”等。
悖论虽然看似荒诞,但却在数学哲学史上产生过重要影响。一些著名的悖论曾使高明的哲学家与数学家为之震惊,为之绞尽脑汁,并引发了人们长期艰难而深入的思考。可以说,悖论的研究对促进数学思想的深化发展是立过汗马功劳的。
世界上有记载的最早的悖论,是公元前五世纪希腊哲学家芝诺提出的关于运动的著名悖论。在我国公元前三世纪的《庄子·天下篇》中,也记载了几条著名的悖论辨题。这些悖论的提出和解决都与数学有关。在数学史上震撼最大的悖论是英国哲学家罗索于1902年提出的“集合论悖论”,它几乎动摇了整个数学大厦的基础,引发了所谓的“第三次数学危机”。这些严肃的论题在许多数学方法论著作、数学史书籍以及有关的读物中都有记载和讨论。
本文只想谈点轻松的话题。其实,许多数学悖论是饶有趣味的,它不仅可以令你大开眼界,还可以从中享受到无尽的乐趣。面对形形色色富于思考性、趣味性、迷惑性的问题,你必须作一点智力准备,否则可能就会在这悖论迷宫中转不出来了。看看下面的几个小故事,你就会相信此话不假。
第一个故事发生在一位调查员身上。这位调查员受托去A、B、C三所中学调查学生订阅《中学生数学》的情况,他很快统计出,A校男生订阅的比例比女生订阅的比例要大些,对B校和C校的调查也得出同样的结果。于是他拟写了一个简要报道,称由抽取的三所学校的调查数据看,中学生中男生订阅《中学生数学》的比例比女生大。后来,他又把三所学校的学生合起来作了一遍统计复核,匪夷所思的事情发生了,这时他得出的统计结果令他大吃一惊,原来订阅《中学生数学》的所有学生中,女生的比例比男生要大些,怎么会是这样呢?这就象在玩一个魔术,少的变多了,多的变少了。你能帮他找找原因吗?
接下来的这个悖论似乎更简单了。有人把它归入数学中对策论的研究范畴。
一位美国数学家来到一个赌场,随便叫住两个赌客,要教给他们一种既简单又挣钱的赌法。方法是,两个人把身上的钱都掏出采,数一数,谁的钱少就可以赢得钱多的人的全部钱。赌徒甲想,如果我身上的钱比对方多,我就会输掉这些钱,但是,如果对方的钱比我多,我就会赢得多于我带的钱数的钱,所以我赢的肯定要比输的多。而我俩带的钱谁多谁少是随机的,可能性是一半对一半,因此这种赌法对我有利,值得一试。赌徒乙的想法与甲不谋而合。于是两个人都愉快地接受了这位数学家的建议。看来这真是一种生财有道的赌博。
现在的问题是,一场赌博怎么会对双方都有利呢?这象不象一场机会均等的猜硬币正反面的游戏,输了只付1元,而赢了则收2元呢?据说这是个一直让数学家和逻辑学家头疼的问题。《科学美国人》杂志社一直在征求这个问题的答案呢。其实只要认真分析一下,对这个问题也不难给出有说服力的解释。
让我们再来看一个逻辑学的悖论吧。一位数学教授告诉学生,考试将在下周内某一天进行,具体在星期几呢?只有到了考试那天才知道,这是预先料不到的。学生们都有较强的逻辑推理能力,他们想,按教授的说法,不会是星期五考试,因为如果到了星期四还没有考试,那教授说的“只有到了考试那天才知道,这是预先料不到的”这句话就是错的。因此星期五考试可以排除。那就只可能在星期一到星期四考。既然这样,星期四也不可能考,因为到了星期三还没有考试的话,就只能是星期四了,这样的话,也不会是预料不到的。因此星期四考也被排除了。可以用同样的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考试。学生们推出结论后都很高兴,教授的话已经导出矛盾了,轻轻松松地过吧。结果到了下周的星期二,教授宣布考试,学生们都愣住了,怎么严格的推理失效了呢?教授确实兑现了自己说的话,谁也没有能预料到考试的时间。现在请你想一想,学生们的推理究竟错在哪里呢?
关于运动的悖论有很悠久的历史,这里介绍的“蚂蚁与橡皮绳悖论”是一道让你的直觉经受考验的数学趣题。问题是这样的:一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行。每过1秒钟,橡皮绳就拉长100米,比如10秒后,橡皮绳就伸长为1000米了。当然,这个问题是纯数学化的,既假定橡皮绳可任意拉长,并且拉伸是均匀的。
蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬,在绳子均匀拉长时,蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动。现在要问,如此下去,蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?
也许你会认为,蚂蚁爬行的那点可怜的路程远远赶不上橡皮绳成万倍的不断拉长,只怕是离终点越来越远吧!但是千真万确,蚂蚁爬到了终点,奇怪吗?
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