关于“鬼谷子和徒弟孙膑庞涓”的故事。智力问题……

4和13具体分析见下：



解题思路1：



假设数为 X,Y;和为X+Y=A,积为X*Y=B.

根据庞第一次所说的：“我肯定你也不知道这两个数是什么”。由此知道，X+Y不是两个素数之和。那么A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.

我们再计算一下B的可能值：

和是11能得到的积:18,24,28,30

和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72

和是23能得到的积:42,60...

和是27能得到的积:50,72...

和是29能得到的积:...

和是35能得到的积:66...

和是37能得到的积:70...

......

我们可以得出可能的B为....，当然了，有些数（30=5*6=2*15）出现不止一次。



这时候，孙依据自己的数比较计算后，“我现在能够确定这两个数字了。”

我们依据这句话，和我们算出来的B的集合，我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数。



和是11能得到的积:18,24,28

和是17能得到的积:52

和是23能得到的积:42,76...

和是27能得到的积:50,92...

和是29能得到的积:54,78...

和是35能得到的积:96,124...

和是37能得到的积:,...

......

因为庞说：“既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一个数的，那就是和17积52。 那么X和Y分别是4和13。





解题思路2：



说话依次编号为S1，P1，S2。

设这两个数为x，y，和为s，积为p。

由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s＜＝41，因为如果s＞41，那么P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（关于这一点，参考老马的证明，这一点很巧妙，可以省不少事情）。所以和s为{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，设这个集合为A。

1).假设和是11。11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，如果P拿到18，18＝3×6＝2×9，只有2＋9落在集合A中，所以P可以说出P1，但是这时候S能不能说出S2呢？我们来看，如果P拿到24，24＝6×4＝3×8＝2×12，P同样可以说P1，因为至少有两种情况P都可以说出P1，所以A就无法断言S2，所以和不是11。

2).假设和是17。17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9，很明显，由于P拿到4×13可以断言P1，而其他情况，P都无法断言P1，所以和是17。

3).假设和是23。23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12，咱们先考虑含有2的n次幂或者含有大质数的那些组，如果P拿到4×19或7×16都可以断言P1，所以和不是23。

4).假设和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以断言P1，所以和不是27。

5).假设和是29。如果P拿到13×16或7×22都可以断言P1，所以和不是29。

6).假设和是35。如果P拿到16×19或4×31都可以断言P1，所以和不是35。

7).假设和是37。如果P拿到8×29或11×26都可以断言P1，所以和不是37。

8).假设和是41。如果B拿到4×37或8×33，都可以断言P1，所以和不是41。

综上所述：这两个数是4和13。



解题思路3：



孙庞猜数的手算推理解法



1)按照庞的第一句话的后半部分，我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54。



因为如果和54恰好是53和a，那么孙知道的积M就是M=53*a，于是孙知道，这原来两个数中至少有

一个含有53这个因子，因为53是个素数。可是小于100，又有53这个因子的，只能是

53本身，所以孙就可以只凭这个积53*a推断出这两个数术53和a。所以如果庞知道的

S大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这种可能，也就不敢贸然说“但是我肯定

你也不知道这两个数是什么”这种话。



如果53+99

如果S=98+99，那么庞可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且M只能是98*99，

孙也可以知道这两个术，所以显然不可能。



2)按照庞的第一句话的后半部分，我们还可以肯定庞知道的和S不可以表示为两个素数的和。



否则的话，如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数，那么孙知道积M后，就可以得到唯一的素因子分解，判断出结果。于是庞还是不敢说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。



根据哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和，对54以下的偶数，猜想肯定被验证过，所以S一定不能是偶数。



另外型为S=2+p的奇数，其中p是奇素数的那些S也同样要排除掉。



还有S=51也要排除掉，因为51=17+2*17。如果鬼谷子选的是(17,2*17)，那么孙知道

的将是M=2*17*17，他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是(17,2*17)。（为什么51要单独拿出来，要看下面的推理）



3)于是我们得到S必须在以下数中：

11 17 23 27 29 35 37 41 47 53



另外一方面，只要庞的S在上面这些数中，他就可以说“但是我肯定你也不知道这两个

数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是合数（必是一偶一

奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2，我们上面的步骤已经保

证奇的那个是合数），也就是S只能拆成

a) S=2+a*b 或 b) S=a+2^n*b

这两个样子，其中a和b都是奇数，n>=1。

那么（下面我说的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些

数都小于100）的理由我就不写了，根据条件很显然）

a)或者孙的M=2*a*b，孙就会在(2*a,b)和(2,a*b)至少两组数里拿不定主意（a和

b都是奇数，所以这两组数一定不同）；

b)或者M=2^n*a*b，

如果n>1，那么孙就会在(2^(n-1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少两组数里拿不定主意；

如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在(2*a,b)和(2b,a)至少两组数里拿不定主

意；

如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a+2*a=3a，所以S一定是3的倍数，我们只要

讨论S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孙拿到的M=9*18，他就会在

(9，18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意。

（上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的论证是否

过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么烦）



现在我们知道，当且仅当庞得到的和数S在

C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}

中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数

是什么”这句话



孙膑可以和我们得到同样的结论，他还比我们多知道那个M。



4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，然后组合成

关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且仅有一个猜想的和在C中。否则的话，他

还是会在多个猜想之间拿不定主意。



庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。



5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后，也得到了

关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在所有这些拆法中，只有一种满足4)里的

条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那两个数来。



于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n+p的S，其中n>1，p为素数。

因为如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，无论是(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况，孙膑都

可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2来断定出正确的结果，因为由M得到的各种两数组合，

只有(2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在C中，于是孙膑就可以宣布自己知道

了是怎么回事，可庞涓却还得为(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况犯愁。



因为11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，

47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在

17 29 41 53

中。让我们继续缩小这个表。



29不可能，因为29=2+27=4+25。无论是(2,27)和(4,25)，孙膑都可以正确判断出来：

a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那么孙可以猜的组合是(2,27)(3,18)(6,9)，

后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。

b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那么孙可以猜的组合是(2,50)(4,25)(5,20)

(10,10)。只有(4,25)的S才在C中。

可是庞涓却要为孙膑的M到底是2*27还是4*25苦恼。



41不可能，因为41=4+37=10+31。后面推理略。



53不可能，因为53=6+47=16+37。后面推理略。



研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法：

(2,15)：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在C中，所以一定不是这个M，否则4)

的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两个数字了”的话说不出来。

(3,14)：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在C中。后面推理略。

(4,13)：那么M=4*13=2*2*13。那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)

的和在C中，所以这种情况孙膑可以说4)中的话。

(5,12)：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在C中。后面推理略。

(6,11)：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在C中。后面推理略。

(7,10)：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在C中。后面推理略。

(8,9)：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在C中。后面推理略。



于是在S=17时，只有(4,13)这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既然如此，庞涓就知道这两个数是什么，说出“我现在也知道这两个数字是什么了”。听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。