小学奥数中的抽屉问题

抽屉问题，又叫狄利克雷原则，原则一：把多于n个的元素，按任意确定的方式分成n个集合，那么一定至少有一个集合中，含有至少两个元素。原则二：把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里有m+1个或者m+1个以上的元素。抽屉原则是证明符合某种条件的对象存在性问题有力工具。应用抽屉原则解决问题的关键是如何构造抽屉。
　　例1：在一个大口袋中装着红、黄、绿三种玻璃球各有很多个。如果每次随意拿3个球，拿11次，至少有两次玻璃球颜色状况完全相同，请说明理由。
　　分析：所谓两次玻璃球颜色状况完全相同，是指如果有一次拿的是1黄2绿，另一次也拿的是1黄2绿，它们的颜色状况就是完全相同。怎么说明呢？这就需要造抽屉，用抽屉原则来说明。随意拿出3个球，会有不同的状况，我们把它找全，每一种颜色状况就是一个抽屉，有多少种不同的颜色状况，就有多少个抽屉。
　　解：每次拿3个球，有10种不同的颜色状况，把这10种不同的颜色状况看成10个抽屉，拿的11次看成11个物体，根据抽屉原则一，把11个物体放入10个抽屉中，一定有两个或两个以上的物体。也就是说拿11次，一定至少有两次玻璃球的颜色状况完全相同。
　　例2：求证1997年1月出生的任意32个孩子中，至少有两个人是同一天出生的。
　　分析：1997年1月份共31天，为了回答上述问题，我们不妨假设1月份这31天为31个抽屉，而将1月份出生的任意32个孩子看作32个元素。根据抽屉原理一知，有一只抽屉里至少放入了两个元素。
　　解：答：1月份出生的任意32个孩子中，至少有两个人是同一天出生的。
　　练习：
　　1、求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）恰是105的倍数。
　　分析：由于105=3×5×7，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1、x2，使得x1－x2是7的倍数，同理x3－x4是5的倍数，x5－x6是3的倍数，题目即得证。
　　解：根据抽屉原理一，在所给的任意8个整数中，必有两个整数被7除的余数相同，不妨设这两个数为x1、x2，则有7|（x1－x2），或表示为：x1－x2=7k1（其中k1为不等于零的整数）。在余下的6个数中，必有两个数被5除的余数相同，不妨设这两个数为x3、x4，使得x3、x4满足：x3－x4=5k2（k2为非零整数）。在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，不妨设这两个数为x5、x6，使得x5－x6=3k3（k3为非零整数）。
　　（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）
　　=7k1·5k2·3k3
　　=105×整数
　　即：从任意给定的互异的8个整数中，一定可以找到6个数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得（x1－x2）·（x3－x4）·（x5－x6）是105的倍数。
　　2、一个袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？
　　分析：当摸出的两个球的颜色相同时，可以有四种不同的结果。当摸出的两个球的颜色不同时，最多可以有3+2+1种不同的结果。将上述10种不同的结果作为10个抽屉。
　　解：要求10次摸出的结果相同，依抽屉原理二，至少要摸9×10+1=91（次）。
　　3、 一个圆上有40条直径，在每条直径两端各填上一个数，所填数字可以从1到20中任意选。一定存在两条直径，两端点数字之和相等。
　　分析：我们做抽屉的方向一定是当每条直径的两端从1到20中任选数字填在上面时，会有多少种不同的和。把这些不同的和分别作为抽屉。再去与直径的条数做比较，就可以得出结论。
　　解：直径两端和最小的是2，最大的是40。因此，共有39种不同的和，把39种不同的和看成39个抽屉，直径的条数是40，大于39，所以一定存在着两条直径，两端数字之和相等。
　　4、能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个，使得每一行、每一列及对角线AC、BD上的各个数字的和各不相同？对你的结论加以说明。
　　分析与解答：8行8列及两条对角线，共有18条“线”，每条“线”上都填有8个数字，要使各条“线”上的数字和均不相同，那么各条“线”上的数字和的取值情况应不少于18种。下面我们来分析一下各条“线”上取不同和的情况有多少种。如果某一条“线”上的8个数字都填上最小的数1，则可得到数字和的最小值8；如果某一条“线”上的8个空格中都填上最大的数3，那么可得到数字和的最大值24。由于数字及数字和均为整数，所以从8到24共有17种不同的值。我们将数字和的17种不同的值看作17个抽屉，而将18条“线”看作18个元素。根据抽屉原理一，将18个元素放入17个抽屉中，一定有一只抽屉中放入了至少两个元素。即18条“线”上的数字和至少有两个相同，所以不可能使18条“线”上的各数字和互不相同。
　　5、由6个队参加的单循环比赛（每两个队都要比赛一场），无论比赛进行到什么时候，一定存在两个队，这两个队比赛过的场次数相同。
　　分析：无论比赛进行到什么时候，所有比赛过的比赛过的场次从0场到5场都有可能出现。因此，就会有5个不同的抽屉。
　　解：参赛的队有6个，有5个抽屉，根据抽屉原则一，无论比赛进行到什么时候，一定有两个队比赛过的场次相同。

抽屉原则一：如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少有2个物体
抽屉原则二：把如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：
　　①k=[n/m]+1个物体：当不能被m整除时。
　　②k=n/m个物体：当n能被m整除时。一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？

　　【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。

　　最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。

　　接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出 10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。

　　故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。

　　思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？

　　当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。

　　提示

　　抽屉原理还可以反过来理解：假如把n＋1个苹果放到n个抽屉里，放2个或2个以上苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放2个或2个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放1个苹果，n个抽屉最多有n个苹果，与“n+1个苹果”的条件矛盾。

　　运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常，可采用把n个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为12类，自然数可按被3除所得余数分为3类等等。