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六年级数学故事
2023-11-15 08:43
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3个回答
2023-11-15 13:36
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法:
三人同行七十稀,
五树梅花甘一枝,
七子团圆正半月,
除百零五便得知。
"正半月"暗指15."除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数。
这四句口诀暗示的意思是:当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得:
70×2+21×3+15×4=263,
263=2×105+53,
所以,这队士兵至少有53人。
在这种方法里,我们看到:70、21、15这三个数很重要,稍加研究,可以发现它们的特点是:
70是5与7的倍数,而用3除余1;
21是3与7的倍数,而用5除余1;
15是3与5的倍数,而用7除余1.
因而
70×2是5与7的倍数,用3除余2;
21×3是3与7的倍数,用5除余3;
15×4是3与5的倍数,用7除余4.
如果一个数以a余数为b,那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a,余数仍然是b.所以,把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地,
70m+21n+15k (1≤m<3, 1≤n<5,1≤k<7)
能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k "的要求。除以105取余数,是为了求合乎题意的最小正整数解。
我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处,那么,是怎么把它们找到的呢?要是换了一个题目,三个除数不再是3、5、7,应该怎样去求出类似的有用的数呢?
为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数,我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35,35除以3余2,35的2倍除以3余2,35的2倍除以3就能余1了,于是我们得到了"三人同行七十稀".
为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数,我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21,21除以5恰好余1,于是我们得到了"五树梅花甘一枝".
为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数,我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15,15除以7恰好余1,因而我们得到了"七子团圆正半月".
3、5、7的最小公倍数是105,所以"除百零五便得知".
依照上面的思路,我们可以举一反三。
例如:试求一数,使之用4除余3,用5除余2,用7除余5.
解 我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数;5与7的最小公倍数是5×7=35,35除以4余3,3×3除以4余1,因而35×3=105除以4余1,105是5与7的倍数而用4除余1的数。
我们再求4与7的倍数而用5除余1的数;4与7的最小公倍数是4×7=28,28除以5余3,3×7除以5余1,因而28×7=196除余5余1,所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。
最后求是4与5的倍数而用7除余1的数:4与5的最小公倍数是4×5=20,20除以7余6,6×6除以7余1,因而20×6=120除以7余1,所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。
利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解:
105×3+196×2+120×5=1307.
由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140,1307大于140,所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47,47是合乎题目的最小的正整数解。
一般地,
105m+196n+120k (1≤m<4,1≤n<5,1≤k<7)
是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数;( 105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。
上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题,由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3,就不必求出105再乘以3了。
35+196×2+120×5=1027
2023-11-15 12:44
796年的一天,一个青年开始做导师留的数学题。
前两道题完成顺利。只剩第三道题:要求只用尺规,画出一个正17边形。
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每当回忆时,这位青年总是说:“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我可能永远也没有信心将它解出来。”
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2023-11-15 11:16
小蚂蚁在蚁洞里住久了,便想出去闯天下。于是,它告别了小伙伴,带着一些食物走向了它十分向往的大城市。
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4
9
2
3
5
7
8
1
6
守卫一下子就不见了,小蚂蚁的眼前展现出一条宽阔的大道。
小蚂蚁踏上了这条路,正当它高高兴兴的时候,肚子却饿的“咕咕”叫了。小蚂蚁打开包裹,呀,食物和钱都不见了,可能是路上被偷了,这可怎么办呢?突然他看见前面的烧饼店聚满了数字,原来是店主在搞活动。店主举着喇叭大喊:“谁能回答出这道题就奖三个烧饼。一个饼煎一面要三分钟,现在锅子能同时煎两个饼,问三个烧饼两面都要煎最快要几分钟?”客人们都说要12分钟。小蚂蚁陷入了沉思,这道题不可能这么简单,最少,最少,啊,有了!小蚂蚁对周围的数字们说:“可以这样做,把1号和2号饼先煎三分钟,这时候两个饼都熟了一面。然后把2号饼取出,放入3号饼,同时1号饼翻身再煎三分钟,这时的1号饼已经全部熟了,3号饼只熟了一面。最后再把2号和3号饼不熟的一面一起煎三分钟,就大功告成了。这种方法只要9分钟。”店主宣布小蚂蚁获胜,并且奖给它三个烧饼。
事后小蚂蚁想,虽然在这里过的不是很顺利,但是有许多乐趣。想着想着,它就想留在这不走了。可是,办手续的时候官员又给它出了一道测试题:彼德不喜欢吃面条,苏伟不喜欢吃汉堡,喜欢吃面条的是法国人,喜欢吃汉堡的是美国人。里奇不是中国人,他也不喜欢吃面条。问,这三个人分别是什么国家的人?小蚂蚁左思右想得不到答案,同学们,你们能帮助它吗?
里奇是美国人
苏伟是法国人
彼得是中国人
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